[논문 리뷰] Inverse Estimation of Elastic Modulus Using Physics-Informed Generative Adversarial Networks

James E. Warner, Julian Cuevas외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 20.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 탄성 모odulus의 공간적으로 변하는 분포를 타당한 측정값 없이 변형 측정값만을 사용하여 역추정하기 위한 물리 기반 생성 적대 신경망(PI-GAN)을 제안한다. 선형 탄성 PDE와 경계 조건을 워셔스타인 GAN에 기반한 기울기 보정을 사용하는 미분 가능한 손실 항으로 통합함으로써, 직접 관측 없이도 기초 강성 분포를 학습할 수 있으며, 100개의 콜로케이션 포인트와 100개의 측정값으로도 진정값과 정확한 통계적 일치(평균, 표준편차, 상관 길이)를 달성한다.

ABSTRACT

While standard generative adversarial networks (GANs) rely solely on training data to learn unknown probability distributions, physics-informed GANs (PI-GANs) encode physical laws in the form of stochastic partial differential equations (PDEs) using auto differentiation. By relating observed data to unobserved quantities of interest through PDEs, PI-GANs allow for the estimation of underlying probability distributions without their direct measurement (i.e. inverse problems). The scalable nature of GANs allows high-dimensional, spatially-dependent probability distributions (i.e., random fields) to be inferred, while incorporating prior information through PDEs allows the training datasets to be relatively small. In this work, PI-GANs are demonstrated for the application of elastic modulus estimation in mechanical testing. Given measured deformation data, the underlying probability distribution of spatially-varying elastic modulus (stiffness) is learned. Two feed-forward deep neural network generators are used to model the deformation and material stiffness across a two dimensional domain. Wasserstein GANs with gradient penalty are employed for enhanced stability. In the absence of explicit training data, it is demonstrated that the PI-GAN learns to generate realistic, physically-admissible realizations of material stiffness by incorporating the PDE that relates it to the measured deformation. It is shown that the statistics (mean, standard deviation, point-wise distributions, correlation length) of these generated stiffness samples have good agreement with the true distribution.

연구 동기 및 목표

• 관측되지 않으며 PDE 해에 기능적으로 종속되지 않는 공간적으로 변하는 탄성 모odulus를 추정하는 고전적 역문제를 해결하기 위해.
• 제한된 변형 측정값을 사용하여 고차원의 재료 성질 랜덤 필드를 학습할 수 있는 확장 가능하고 데이터 효율적인 방법을 개발하기 위해.
• 자동 미분과 잔차 제약을 통해 선형 탄성 PDE와 경계 조건과 같은 물리 법칙을 GAN 훈련 과정에 직접 통합하기 위해.
• 실제 고체역학적 맥락에서 PI-GAN의 탄성 모odulus 분포 추정 가능성과 정확성을 입증하기 위해.
• 영역 내 이격점 수와 변위 센서 수를 다양하게 조절했을 때의 방법의 강인성 검증을 위해.

제안 방법

• 2개의 스트림을 가진 피드포워드 딥 네ural 네트워크 생성기로 2차원 영역 전반에 걸친 이동장과 공간적으로 변하는 탄성 모odulus를 모델링한다.
• 학습 안정성 향상과 모드 붕괴 완화를 위해 워셔스타인 GAN에 기반한 기울기 보정(WGAN-GP) 프레임워크 내에서 생성기를 훈련시킨다.
• 선형 탄성 방정식의 PDE 잔차를 자동 미분을 사용해 계산하고, 영역 전역의 콜로케이션 포인트에서 별도의 손실 항으로 강제한다.
• 노이만 경계 조건은 영역 경계에서 추가 손실 항으로 명시적으로 표현되며, 법선 벡터를 사용해 응력력을 계산한다.
• 판별기는 실제 변형 데이터와 생성된 샘플을 구별하도록 훈련되고, 생성기는 적대적 손실과 물리 기반 손실을 모두 최소화하도록 최적화된다.
• 손실 함수는 적대적 손실, PDE 잔차 손실, 경계 조건 손실을 통합하여 직접 탄성 모odulus 관측 없이도 엔드 투 엔드 훈련이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접적인 모odulus 측정값이 없을 경우 PI-GAN이 공간적으로 변하는 탄성 모odulus 분포를 정확하게 추정할 수 있는가?
• RQ2 변위 센서의 수가 추정된 강성 분포의 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 탄성 모odulus 필드의 정확한 추론을 달성하기 위해 필요한 최소한의 콜로케이션 포인트 수는 얼마인가?
• RQ4 생성된 강성 샘플의 통계적 특성(평균, 표준편차, 상관 길이)이 진정된 분포와 얼마나 잘 일치하는가?
• RQ5 물리 제약 조건을 갖춘 WGAN-GP 프레임워크가 고차원적이고 확률적인 고체역학의 역문제에 대해 안정적이고 신뢰할 수 있는 훈련을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• PI-GAN은 재료 성질에 대한 직접 관측 없이도 물리적으로 타당한 탄성 모odulus 필드의 실현을 성공적으로 생성하였다.
• 생성된 강성 샘플의 평균, 표준편차, 점별 분포 및 상관 길이가 진정된 분포와 강한 일치를 보였다.
• 100개의 변위 측정값과 100개의 콜로케이션 포인트로도 추정된 모odulus의 상대적 L2 오차가 충분히 낮아 정확한 추론을 가능하게 하였다.
• 측정값 수를 1000개로 고정했을 때, 50개의 콜로케이션 포인트로도 정확한 추정이 가능하여 데이터 효율성을 입증하였다.
• 측정값 수나 콜로케이션 포인트 수가 증가함에 따라 상대적 L2 오차가 반드시 감소하지는 않아, 훈련의 변동성과 향후 하이퍼파rameter 조정의 필요성을 시사하였다.
• 본 연구는 PI-GAN을 고체역학 분야에 적용한 최초의 사례이며, 미관측이면서 PDE 해에 기능적으로 종속되지 않는 역문제에 적용한 첫 사례이다.