[논문 리뷰] Inverse scattering transform for the nonlocal reverse space-time Sine-Gordon, Sinh-Gordon and nonlinear Schrödinger equations with nonzero boundary conditions

Mark J. Ablowitz, Bao‐Feng Feng외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 07.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 역공간-시간 Sine-Gordon, Sinh-Gordon 및 비선형 슈뢰딩거(NLS) 방정식에 대해 비영 boundary 조건(NZBCs)을 갖는 역산산분해변환(IST)을 개발한다. 이는 복잡한 스펙트럼 분지 구조를 다루며, 1- 및 2-솔리톤 해를 명시적으로 유도하고, RST NLS 방정식에서는 산란 데이터의 시간 의존성과 Sine/Sinh-Gordon 방정식에서는 그렇지 않은 핵심적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

The reverse space-time (RST) Sine-Gordon, Sinh-Gordon and nonlinear Schrödinger equations were recently introduced and shown to be integrable infinite-dimensional dynamical systems. The inverse scattering transform (IST) for rapidly decaying data was also constructed. In this paper, IST for these equations with nonzero boundary conditions (NZBCs) at infinity is presented. The NZBC problem is more complicated due to the associated branching structure of the associated linear eigenfunctions. With constant amplitude at infinity, four cases are analyzed; they correspond to two different signs of nonlinearity and two different values of the phase at infinity. Special soliton solutions are discussed and explicit 1-soliton and 2-soliton solutions are found. In terms of IST, the difference between the RST Sine-Gordon/Sinh-Gordon equations and the RST NLS equation is the time dependence of the scattering data. Spatially dependent boundary conditions are also briefly considered.

연구 동기 및 목표

• 비영 boundary 조건(NZBCs)을 갖는 비국소적 역공간-시간(RST) 적분 가능 방정식에 대해 역산산분해변환(IST)을 확장함으로써, 감쇠되는 데이터의 경우보다 더 복잡한 상황을 다루는 것.
• 특히 RST Sine-Gordon, Sinh-Gordon 및 NLS 방정식에 대해, 관련 선형 고유함수에서 발생하는 NZBCs에 기인한 스펙트럼 분지 구조를 다루는 것.
• 비선형성의 두 부호와 무한대에서의 두 위상 값에 기반한 해의 분류를 통해 NZBCs에 대해 네 가지의 구분된 경우를 도출하는 것.
• NZBCs 하에서 비국소적 RST NLS 및 Sine/Sinh-Gordon 방정식에 대해 1-솔리톤 및 2-솔리톤 해를 명시적으로 유도하는 것.
• NZBCs 하에서 비국소적 RST NLS 방정식과 RST Sine/Sinh-Gordon 방정식 간의 산란 데이터 시간 진화의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 비국소적 RST 대칭 축소 $ r(x,t) = \sigma q(-x,-t) $, 여기서 $ \sigma = \pm 1 $, 를 활용하여 AKNS 프레임워크를 적응시켜 관련 선형 고유값 문제와 시간 진화 방정식을 유도하는 것.
• 균일화 변수 기법을 적용하여 리만 표면에서의 역문제를 상반평면과 하반평면에서의 표준 IST로 변환함으로써, NZBCs에 기인한 스펙트럼 분지 문제를 해결하는 것.
• 네 가지 경우를 기반으로 산란 데이터를 분석함: 두 가지 비선형성($ \sigma = \pm 1 $)과 무한대에서의 두 위상 값($ \theta_+ + \theta_- = 0, \pi $), 각각 다른 솔리톤 행동을 나타냄.
• 산란 데이터의 시간 진화를 유도하여, RST NLS의 경우 산란 데이터가 시간에 명시적으로 의존하는 반면, Sine/Sinh-Gordon의 경우 그렇지 않음을 보이는 것.
• 역산산분해 형식을 이용하여 1- 및 2-솔리톤 해를 구성함. 명시적 공식은 Gelfand-Levitan-Marchenko 적분 방정식을 통해 유도됨.
• 공간에 따라 변화하는 경계 조건을 간략히 다루지만, 주된 초점은 일정한 진폭의 NZBCs에 맞춰진 것임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 RST Sine-Gordon, Sinh-Gordon 및 NLS 방정식에 대해 비영 경계 조건(NZBCs)을 갖는 역산산분해변환(IST)을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 NZBCs 하에서 이러한 방정식의 스펙트럼 및 산란 데이터의 구조는 어떠한가 하는가? 특히 리만 표면의 분지에 대해 어떻게 되는가?
• RQ3 NZBCs 하에서 비국소적 RST NLS 방정식과 RST Sine/Sinh-Gordon 방정식 간의 산란 데이터 시간 의존성은 어떻게 다를까?
• RQ4 이러한 비국소적 방정식에 대해 1-솔리톤 및 2-솔리톤 해의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 특수한 솔리톤 해가 발생하는 조건는 무엇이며, 이는 위상과 비선형성의 부호에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 비국소적 RST Sine-Gordon, Sinh-Gordon 및 NLS 방정식에 대해 비영 경계 조건(NZBCs)을 갖는 역산산분해변환(IST)이 성공적으로 구성되었으며, 균일화 기법을 통해 복잡한 스펙트럼 분지를 해결함.
• 비선형성의 부호($ \sigma = \pm 1 $)와 무한대에서의 위상($ \theta_+ + \theta_- = 0, \pi $)의 조합으로 인해 네 가지의 명백히 구분된 경우가 도출되었으며, 각 경우는 고유한 산란 및 솔리톤 구조를 가짐.
• 모든 네 경우에 대해 명시적인 1-솔리톤 해가 도출되었으며, $ \sigma = 1, \delta = -1 $ 및 $ \sigma = -1, \delta = 1 $일 경우 특이 솔리톤 해를 포함함. 이는 hyperbolic 및 삼각함수를 포함한 닫힌 형태의 공식으로 표현됨.
• 비국소적 RST NLS 방정식에 대해 $ \sigma = 1, \theta_+ + \theta_- = \pi $ 및 $ \sigma = -1, \theta_+ + \theta_- = \pi $ 조건 하에서 2-솔리톤 해가 명시적으로 구성되었으며, $ \delta_1 \delta_2 = 1 $ 여부에 따라 다른 행동을 보임.
• 핵심적 차이점으로서, RST NLS 방정식의 산란 데이터는 시간에 명시적으로 의존하는 반면, RST Sine/Sinh-Gordon 방정식의 산란 데이터는 그렇지 않음을 확인함.
• 특이 솔리톤 해는 시각화되었으며, 매개변수에 따라 비감쇠, 진동형 또는 충격 유사한 프로파일을 나타냄. 모든 경우에 대해 $ q(x,t) $의 구체적 공식이 제공됨.