[논문 리뷰] Inverse scattering transform for the nonlocal nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions

Mark J. Ablowitz, Xu‐Dan Luo외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 08.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 균일화 변수를 사용한 왼쪽-오른쪽 리emann-힐베르트 문제를 통해, 공간 무한대에서 비영이 아닌 경계 조건을 갖는 비국소 비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlocal nonlinear Schrödinger equation)에 대한 역산성 변환(Inverse Scattering Transform, IST)을 개발한다. 비선형성의 부호와 경계값 간 위상 차이에 의해 정의되는 네 가지 케이스 중 세 가지에 대해 1 솔리톤 및 2 솔리톤 해를 명시적으로 유도하며, 네 번째 케이스에서는 솔리톤이 존재하지 않으며, 평면파 해에 대한 모듈레이션 불안정성 기준을 수립한다.

ABSTRACT

In 2013 a new nonlocal symmetry reduction of the well-known AKNS scattering problem was found; it was shown to give rise to a new nonlocal $PT$ symmetric and integrable Hamiltonian nonlinear Schrödinger (NLS) equation. Subsequently, the inverse scattering transform was constructed for the case of rapidly decaying initial data and a family of spatially localized, time periodic one soliton solution were found. In this paper, the inverse scattering transform for the nonlocal NLS equation with nonzero boundary conditions at infinity is presented in the four cases when the data at infinity have constant amplitudes. The direct and inverse scattering problems are analyzed. Specifically, the direct problem is formulated, the analytic properties of the eigenfunctions and scattering data and their symmetries are obtained. The inverse scattering problem is developed via a left-right Riemann-Hilbert problem in terms of a suitable uniformization variable and the time dependence of the scattering data is obtained. This leads to a method to linearize/solve the Cauchy problem. Pure soliton solutions are discussed and explicit 1-soliton solution and two 2-soliton solutions are provided for three of the four different cases corresponding to two different signs of nonlinearity and two different values of the phase difference between plus and minus infinity. In the one other case there are no solitons.

연구 동기 및 목표

• 공간 무한대에서 비영이 아닌 경계 조건을 갖는 비국소 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 역산성 변환을 확장한다.
• 비선형성의 부호($\sigma = \pm 1$)와 경계값 간 위상 차이($\Delta\theta = \theta_+ - \theta_-$)에 따라 해를 분류한다.
• 균일화 변수를 사용한 왼쪽-오른쪽 리emann-힐베르트 공식화를 통해 직접 및 역산성 문제를 구성한다.
• 네 가지 다른 케이스 전반에 걸쳐 순수 솔리톤 해를 명시적으로 유도하고, 그 존재성과 역학적 특성을 분석한다.
• 다양한 경계 위상과 비선형성 조건 하에서 일정 진폭의 평면파 해에 대한 모듈레이션 불안정성을 조사한다.

제안 방법

• 비국소 NLS 방정식에 대한 직접 산란 문제를 비영이 아닌 경계 조건(NZBCs)과 함께 설정하고, 고유함수와 산란 데이터의 해석적 성질 및 대칭성을 분석한다.
• 리emann-힐베르트 문제를 단일 복소평면으로 매핑하기 위해 균일화 변수를 도입하여 왼쪽과 오른쪽 산란 데이터를 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.
• PT 대칭적 구조에서 비롯되는 대칭성을 포함한 왼쪽-오른쪽 리emann-힐베르트 문제를 개발하여 역산성 문제를 해결한다.
• 비국소 NLS 방정식의 코시 문제를 선형화하기 위해 산란 데이터의 시간 진화를 유도한다.
• 네 가지 케이스 조합 중 세 가지에 대해 역산성 변환 프레임워크를 사용하여 명시적인 1 솔리톤 및 2 솔리톤 해를 구성한다.
• 편미분 전개를 통한 선형 안정성 분석을 수행하여 일정 진폭 해의 모듈레이션 불안정성을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 조건이 영이 아닌 경우 비국소 NLS 방정식에 대한 역산성 변환이 경계 조건이 감쇠하는 경우와 어떻게 다를까?
• RQ2 NZBC 영역에서 고유함수와 산란 데이터의 해석적 성질 및 대칭성은 무엇인가?
• RQ3 비국소 구조를 다루기 위해 균일화 변수를 사용한 왼쪽-오른쪽 리emann-힐베르트 문제를 어떻게 설정하고 해결할 수 있는가?
• RQ4 순수 솔리톤 해가 존재하는 조건은 무엇이며, 그 역학적 특성은 어떠한가?
• RQ5 비국소 NLS 프레임워크에서 일정 진폭 평면파 해의 모듈레이션 안정성 또는 불안정성은 무엇에 의해 결정되는가?

주요 결과

• 1 솔리톤 해는 $\sigma = -1$ 이고 $\Delta\theta = \pi$ 인 경우 존재하며, 이는 정적이고 시간 주기적인 솔리톤에 해당한다.
• 2 솔리톤 해는 $\sigma = -1$ 이고 $\Delta\theta = 0$ 인 경우 존재하며, 이는 정적이고 진동하는 이중 솔리톤 상태를 묘사한다.
• $\sigma = 1$ 이고 $\Delta\theta = 0$ 인 경우, 이동하는 양방향 2 솔리톤 해가 발견되며, 솔리톤 간에 비트리비어한 상호작용이 일어난다.
• $\sigma = 1$ 이고 $\Delta\theta = \pi$ 인 경우, 산란 데이터에서 이산 고유값이 존재하지 않음으로써 솔리톤 해가 존재하지 않음이 확인된다.
• 모듈레이션 불안정성 분석 결과, $\Delta\theta = 0$ 인 평면파는 $\sigma = -1$ 인 경우 불안정하며(허수 고유값 2개), $\sigma = +1$ 인 경우 안정하다.
• $\Delta\theta = \pi$ 인 경우, 일정 진폭 해는 $\sigma = \pm 1$ 이 모두 안정하며, 불안정성 스펙트럼이 복소평면에 존재하지만 성장하는 모드가 없기 때문이다.