[논문 리뷰] Inverse semigroup expansions and their actions on C*-algebras

Alcides Buss, Ruy Exel|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 04.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 역반군 G의 접두사 확장 Pr(G)에 대한 생성자와 관계 기술을 제시하며, 이가 국소적 작용과 표현을 지배함을 보여준다. G 위의 펠 띠들와 Pr(G) 위의 포화된 펠 띠들 사이에 표준적인 동치관계를 설정하고, G와 Pr(G)에 의한 교차곱이 서로 동형임을 증명함으로써, Pr(G)를 통해 휘어진 국소적 및 전역적 작용을 통합한다.

ABSTRACT

In this work, we give a presentation of the prefix expansion Pr(G) of an inverse semigroup G as recently introduced by Lawson, Margolis and Steinberg which is similar to the universal inverse semigroup defined by the second named author in case G is a group. The inverse semigroup Pr(G) classifies the partial actions of G on spaces. We extend this result and prove that Fell bundles over G correspond bijectively to saturated Fell bundles over Pr(G). In particular, this shows that twisted partial actions of G (on C*-algebras) correspond to twisted (global) actions of Pr(G). Furthermore, we show that this correspondence preserves C*-algebras crossed products.

연구 동기 및 목표

• 역반군 G의 접두사 확장 Pr(G)에 대한 대체적인 생성자와 관계 기반 기술을 제공함으로써, 그것이 국소적 표현을 분류하는 데서 수행하는 역할을 강조한다.
• Pr(Pr(G))와 G가 유한할 경우 Pr(G)의 기수와 같은 열린 질문들에 답하여 Pr(G)의 구조를 명확히 한다.
• 부분 호모모르피즘을 갖는 역반군의 범주와 역반군의 범주 사이의 카테고리적 수반관계를 설정함으로써, Pr(G)가 잊혀진 함자에 대한 왼쪽 수반임을 보여준다.
• G에 의한 교차곱과 펠 띠들 사이의 대응관계를 전역적 작용에서 국소적 및 왜곡된 작용으로 확장함으로써, Pr(G)를 통해 통합한다.
• C*-대수에서 G의 국소적(왜곡된) 작용에 의한 전면 및 최소 교차곱이 Pr(G)의 대응하는 전역적(왜곡된) 작용에 의한 것들과 동형임을 증명한다.

제안 방법

• 각 s ∈ G에 대해 생성자 [s]를 정의하고, [s][t][t*] = [st][t*], [s*][s][t] = [s*][st], [s][s*][s] = [s]의 관계를 설정함으로써 Pr(G)를 정의하여, 이것이 역반군임을 보장한다.
• ε_t = [t][t*]인 등급원들이 서로 가환하고 [t]ε_s = ε_{ts}[t]를 만족함을 증명함으로써 Pr(G)의 보편 성질에 필수적인 조건을 확보한다.
• 부분 호모모르피즘을 갖는 역반군의 범주에서 역반군의 범주로의 함자를 구성함으로써, G ↦ Pr(G)가 잊혀진 함자에 대한 왼쪽 수반임을 보여준다.
• 기본적인 확장을 통해 섬유를 확장하고 부분 등급 이sovectors를 사용하여, G 위의 정규 펠 띠들과 Pr(G) 위의 정규 펠 띠들 사이에 일대일 대응을 설정한다.
• 단위원 가중치 가중치가 있는 가중치 가중치를 갖는 부분 등급 이sovectors를 포함하는 관계를 만족하는 유닛리어 가중치 가중치를 정의하고, 이것이 정규 펠 띠들과 대응됨을 보여준다.
• G 위의 펠 띠의 단면 C*-대수와 그것이 Pr(G)로의 확장된 띠의 단면 대수 사이에 동형이 있음을 증명함으로써, 전면 및 최소 교차곱을 모두 유지함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역반군 G의 접두사 확장 Pr(G)는 원래의 구성과 독립적으로 생성자와 관계로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 Pr(G)는 부분 호모모르피즘과 역반군에 관해 어떤 카테고리적 역할을 하는가?
• RQ3 G 위의 펠 띠들과 Pr(G) 위의 포화된 펠 띠들 사이의 관계는 무엇이며, 이 대응관계는 함자적일까?
• RQ4 G의 국소적(왜곡된) 작용에 의한 교차곱과 Pr(G)의 전역적(왜곡된) 작용에 의한 교차곱이 일치하는가?
• RQ5 Pr(G)는 반복적으로 적용되었을 때 어떻게 행동하는가? 예를 들어 Pr(Pr(G))는 무엇이며, G가 유한할 경우 Pr(G)의 크기는 G와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 접두사 확장 Pr(G)는 s ∈ G에 대한 생성자 [s]와 세 가지 관계로 기술될 수 있으며, 이는 G의 국소적 표현을 지배하는 보편적인 역반군임을 특징짓는다.
• G ↦ Pr(G)의 할당은 부분 호모모르피즘을 갖는 역반군의 범주에서 역반군의 범주로의 왼쪽 수반 함자이다.
• G 위의 펠 띠들과 Pr(G) 위의 포화된 펠 띠들 사이에는 표준적이고, 함자적이며, 일대일 대응관계가 존재하며, 이는 관련 C*-대수를 유지한다.
• C*-대수에서 G의 국소적(왜곡된) 작용에 의한 전면 및 최소 교차곱은 Pr(G)의 대응하는 전역적(왜곡된) 작용에 의한 것들과 동형이다.
• 임의의 정규 펠 띠 (A, u)에 대해, Pr(G)로의 유도된 띠 역시 정규이며, 관련된 부분 등급 이sovectors는 Pr(G)로 자연스럽게 확장된다.
• G의 왜곡된 국소적 작용 (β, ω)과 정규 펠 띠 (A, u) 사이의 대응관계는 일대일이며, 관련된 교차곱은 B ⋊_β,ω G ≅ C*(A) 및 B ⋊_β,ω^r G ≅ C*_r(A)를 만족한다.