[논문 리뷰] Investigations on c-(almost) perfect nonlinear functions

Constanza Riera, Pantelimon Stănică|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 31.

Coding theory and cryptography참고 문헌 30인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 새로운 승법 미분 개념을 바탕으로 하여 $p$-진 및 부울 함수의 $c$-미분 균일성에 대해 연구한다. 특히 기존의 거의 완전 비선형(APN) 함수에 초점을 맞추며, 특정 $c$에 대해 몇몇 APN 함수, 예를 들어 골드 함수 및 특정 $p$-진 함수들이 $c$-미분 균일성이 크게 감소함을 보여준다. 이는 $c \neq 1$일 때, 특히 $c = -1$이고 $n$이 홀수일 경우 일부 함수가 완전 $c$-비선형(PcN) 또는 거의 완전 $c$-비선형(APcN)임을 시사한다.

ABSTRACT

In a prior paper [14], along with P. Ellingsen, P. Felke and A. Tkachenko, we defined a new (output) multiplicative differential, and the corresponding c-differential uniformity, which has the potential of extending differential cryptanalysis. Here, we continue the work, by looking at some APN functions through the mentioned concept and show that their c-differential uniformity increases significantly, in some cases.

연구 동기 및 목표

• 새로 정의된 승법 미분 개념을 사용하여 알려진 APN 함수의 $c$-미분 균일성을 분석하기.
• 표준 미분 균일성과 비교해 $c$-미분 균일성이 크게 감소하는 조건을 규명하기.
• 특히 홀수 특성 유한체에서 $c = -1$에 대해 $c$-완전 비선형(PcN) 및 $c$-거의 완전 비선형(APcN) 함수를 식별하기.
• 미분 암호해석의 적용 범위를 확장하기 위해 $c$-도함수를 통한 승법 이동을 포함하는 일반화된 미분 개념으로 일반화하기.
• 표준 정의를 초월하여 새로운 PN 또는 APN 함수의 클래스를 식별하는 데 $c$-미분의 잠재력을 탐색하기.

제안 방법

• 함수 $F$의 $c$-도함수를 ${}_{c}D_{a}F(x) = F(x+a) - cF(x)$로 정의하여 표준 도함수를 일반화한다.
• $c$-미분 균일성을 ${}_{c}\Delta_{F} = \max\{ {}_{c}\Delta_{F}(a,b) \}$로 정의하며, 여기서 ${}_{c}\Delta_{F}(a,b)$는 $F(x+a) - cF(x) = b$의 해의 수를 세는 것이다.
• 특히 $p=3$ 및 $n$차원 필드에서 $c$-미분 성질을 분석하기 위해 딕슨 다항식과 그 역상의 개수를 사용한다.
• 지수의 GCD와 추적 함수와 같은 수론적 도구를 사용하여 $c$-도함수의 치환 성질을 규명한다.
• 문헌 [9]의 정리 9를 활용하여 다양한 $c$ 및 $n$에 대해 딕슨 다항식의 역상 크기를 계산한다.
• $\mathbb{F}_{3^n}$에서 $G(x) = x^{(3^n+3)/2}$를 분석하여, $c=-1$이고 $n$이 홀수일 경우 이 함수가 PcN임을 보이며, $n$이 짝수일 경우 APcN임을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $c$ 및 $n$ 값에 대해 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 골드 함수 $x^{(p^k+1)/2}$가 완전 $c$-비선형인가?
• RQ2 기존의 APN 함수의 $c$-미분 균일성이 $c \neq 1$일 때, 특히 $c = -1$일 경우에 크게 감소하는가?
• RQ3 $\mathbb{F}_{3^n}$에서 $G(x) = x^{(3^n+3)/2}$는 $c = -1$일 때 $c$-완전 또는 $c$-거의 완전 비선형으로 분류될 수 있는가?
• RQ4 $c$-미분 균일성과 $p$-진 함수의 대수적 차수 또는 추적 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $p$-진 함수의 $c$-미분 균일성은 표준 미분 균일성과 비교해 어떤가, 특히 홀수 특성 필드에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• $\mathbb{F}_{3^n}$에서 함수 $x^{(3^n+3)/2}$는 $c = -1$이면 $n$이 홀수일 때에만 완전 $c$-비선형(PcN)이다.
• $n$이 짝수일 경우, 동일한 함수는 $c = -1$일 때 거의 완전 $c$-비선형(APcN)이며, $c$-미분 균일성이 $\ell = 2$이다.
• $c = 1$일 경우, $G(x) = x^{(3^n+3)/2}$의 $c$-미분 균일성은 $n$이 짝수이면 1, $n$이 홀수이면 4이다. 이는 $c = -1$의 경우와 뚜렷한 대비를 이룬다.
• 골드 함수 $x^{(p^k+1)/2}$는 $c = -1$에 대해 $\frac{2n}{\gcd(2n,k)}$가 홀수일 때에만 PcN이다.
• $G(x)$의 $c$-미분 균일성은 딕슨 다항식의 역상 크기를 분석함으로써 결정되며, $n$이 짝수일 경우 $m = \gcd(\frac{3^n+3}{2}, 3^n - 1) = 2$ 및 $\bar{\ell} = \gcd(\frac{3^n+3}{2}, 3^n + 1) = 2$이다.
• $c = -1$이고 $n$이 홀수일 경우, 함수 $G(x)$는 관련된 딕슨 다항식 $h_{-1}(z)$가 치환 다항식임을 확인함으로써 PcN이다. 이는 지수와 필드 크기의 GCD 조건에 의해 확인된다.