[논문 리뷰] Investment and Consumption without Commitment

Ivar Ekeland, Traian A. Pirvu|ArXiv.org|2007. 08. 03.

Economic theories and models참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비지수적(하이퍼볼릭) 할인을 고려한 최적의 투자 및 소비를 다루며, 이는 시간에 따라 일관되지 않은 선호를 유도한다. 논문은 비지수적 할인 하에서 하위게임 완전 균형 전략을 연립 편미분방정식(PDE) 시스템을 통해 수립하고, 유한 또는 무한 수명일 경우 CRRA 유틸리티에 대해 존재성을 증명하며, 선형 조합 또는 지수함수와 선형 함수의 곱으로 이루어진 특수 할인 함수에 대해 명시적 해를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the Merton portfolio management problem in the context of non-exponential discounting. This gives rise to time-inconsistency of the decision-maker. If the decision-maker at time t=0 can commit his/her successors, he/she can choose the policy that is optimal from his/her point of view, and constrain the others to abide by it, although they do not see it as optimal for them. If there is no commitment mechanism, one must seek a subgame-perfect equilibrium strategy between the successive decision-makers. In the line of the earlier work by Ekeland and Lazrak we give a precise definition of equilibrium strategies in the context of the portfolio management problem, with finite horizon, we characterize it by a system of partial differential equations, and we show existence in the case when the utility is CRRA and the terminal time T is small. We also investigate the infinite-horizon case and we give two different explicit solutions in the case when the utility is CRRA (in contrast with the case of exponential discount, where there is only one). Some of our results are proved under the assumption that the discount function h(t) is a linear combination of two exponentials, or is the product of an exponential by a linear function.

연구 동기 및 목표

• 비지수적 할인을 고려할 때 표준의 지수적 할인 가정을 넘어서 시간에 따라 일관되지 않은 포트폴리오 선택 문제를 해결하기 위해.
• 비약속이 없는 연속시간 메르톤 포트폴리오 문제에서 하위게임 완전 균형 전략을 정의하고 특성화하기 위해.
• 유한 및 무한 수명에 대해 특정 할인 함수의 구조 하에서 CRRA 유틸리티에 대한 균형 정책의 존재성을 확립하기 위해.
• Ekeland 및 Lazrak(2008)의 프레임워크를 일반 할인을 고려한 확률적 연속시간 투자 및 소비 모델로 확장하기 위해.
• 두 가지 유형의 비지수적 할인—유형 I(지수함수의 선형 조합) 및 유형 II(지수함수와 선형 함수의 곱)—에 대해 균형 전략의 명시적 해를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비지수적 할인 하에서 동적 프rogramming 원리로부터 유도된 연립 편미분방정식(PDE) 시스템의 해로서 균형 전략을 수식화한다.
• Feynman-Kac 공식을 통한 가치 함수의 확률적 표현을 사용하여 PDE와 기대 유틸리티 유량 간의 연결을 맺는다.
• 역행 확률적 미분방정식(BSDE)을 적용하여 균형 전략에서의 마진 가치 과정의 동역학을 특성화한다.
• 두 가지 다른 할인 함수 유형을 도입한다: 유형 I(h(t) = λe^{-ρ₁t} + (1−λ)e^{-ρ₂t}) 및 유형 II(h(t) = (1+λt)e^{-ρt}), 이는 서로 다른 균형 구조를 유도한다.
• CRRA 유틸리티를 사용하여 상태 변수(자산)에 대한 함수로 균형 투자 및 소비 규칙을 유도하기 위해 PDE 시스템을 해결한다.
• 비지수적 할인으로 인한 국소가 아닌 항을 포함한 비지수적 할인에 적응된 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 프레임워크를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비지수적 할인 하에서 연속시간 포트폴리오 선택 문제에서 하위게임 완전 균형 전략은 어떻게 정의되고 특성화할 수 있는가?
• RQ2 CRRA 유틸리티와 비지수적 할인을 고려한 유한 수명 메르톤 문제에서 균형 정책의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특히 지수함수의 선형 조합 또는 지수함수와 선형 함수의 곱으로 이루어진 비지수적 할인 함수는 균형 투자 및 소비 규칙의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 CRRA 유틸리티와 비지수적 할인 하에서 무한 수명 사례에 대해 명시적 균형 전략은 무엇인가?
• RQ5 약속이 없는 상황에서 표준 지수적 할인 가정과 비교해 최적 정책은 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 유한 수명 및 작은 T에 대해, 유틸리티가 CRRA이고 할인 함수가 두 지수함수의 선형 조합 또는 지수함수와 선형 함수의 곱인 경우 균형 전략이 존재한다.
• 무한 수명 사례에서는 유형 I 및 유형 II 할인에 대해 CRRA 유틸리티에 대해 두 가지 서로 다른 명시적 균형 해가 존재하며, 지수적 할인 하에서는 유일한 해가 존재하는 것과 대비된다.
• CRRA 유틸리티 하에서는 비지수적 할인 조건 하에서도 균형 투자 정책이 자산의 일정 비율에 해당하며, 비율은 할인 구조에 따라 달라진다.
• 균형 소비 규칙은 마진 유틸리티의 역함수로부터 도출되며, 마진 가치 과정은 특정 PDE 시스템을 만족한다.
• 가치 함수는 국소항이 포함된 PDE 시스템을 만족하며, 균형 전략은 기대 할인 유틸리티 유량을 포함하는 확률적 표현으로 특성화된다.
• 해법 방법은 후보 전략이 BSDE와 Feynman-Kac 공식을 통해 필요한 조건을 만족함을 검증함으로써 균형 정의와 일관성을 확보하는 데 기반한다.