[논문 리뷰] Involutions of Higgs bundle moduli spaces

Oscar Garcı́a-Prada, S. Ramanan|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 컴acts Riemann 표면 위의 $G$-Higgs bundle 모듈리 공간의 유한 차수 자기동형사상에 대해 연구하며, $H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$의 작용과 단위근으로 Higgs 필드를 스케일링하는 것을 조합하여 구성한다. 고정점 부분다양체는 +1 고유값의 경우 초구면다양체(submanifold)로, -1 고유값의 경우 라그랑주 부분다양체로 식별되며, 각각 $G$의 재수형 부분군 또는 실형식에 대응한다. $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 및 $\mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$의 경우 삼중성(duality)을 통해 명시적인 기술이 제공된다.

ABSTRACT

We consider the moduli space $\mathcal{M}(G)$ of $G$-Higgs bundles over a compact Riemann surface $X$, where $G$ is a complex semisimple Lie group. This is a hyperkahler manifold homeomorphic to the moduli space $\mathcal{R}(G)$ of representations of the fundamental group of $X$ in $G$. In this paper we study finite order automorphisms of $\mathcal{M}(G)$ obtained by combining the action of an element of order $n$ in $H^1(X,Z) times \mbox{Out}(G)$, where $Z$ is the centre of $G$ and $\mbox{Out}(G)$ is the group of outer automorphisms of $G$, with the multiplication of the Higgs field by an $n$th-root of unity, and describe the subvarieties of fixed points. We give special attention to the case of involutions, defined by the action of an element of order $2$ in $H^1(X,Z) times\mbox{Out}(G)$ combined with the multiplication of the Higgs field by $\pm 1$. In this situation, the subvarieties of fixed points are hyperkahler submanifolds of $\mathcal{M}(G)$ in the (+1)-case, corresponding to the moduli space of representations of the fundamental group in certain reductive complex subgroups of $G$ defined by holomorphic involutions of $G$; while in the (-1)-case they are Lagrangian subvarieties corresponding to the moduli space of representations of the fundamental group of $X$ in real forms of $G$ and certain extensions of these. We illustrate the general theory with the description of involutions for $G=\mbox{SL}(n,\mathbb{C})$ and involutions and order three automorphism defined by triality for $G=\mbox{Spin}(8,\mathbb{C})$.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 Riemann 표면 $X$ 위의 $G$-Higgs bundle 모듈리 공간 $\mathcal{M}(G)$에 대한 유한 차수 자기동형사상의 구조를 이해하는 것.
• 외부 자동형사상과 Higgs 필드의 단위근에 의한 스케일링을 조합하여 유도된 고정점 부분다양체를 분석하는 것.
• 고유값($+1$ 또는 $-1$)에 따라 이러한 고정점 부분다양체를 초구면다양체 또는 라그랑주 부분다양체로 분류하는 것.
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 및 $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$에 대해 삼중성을 활용하여 이러한 격자 변환의 명시적 기술을 제공하는 것.

제안 방법

• $G$의 중심인 $Z$에 대해 $H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$의 순서 $n$인 원소를 사용하여 $\mathcal{M}(G)$의 자기동형사상을 구성하는 것.
• Higgs 필드를 $n$제곱 단위근으로 스케일링하여 자기동형사상을 적용하는 것.
• $\mathcal{M}(G)$의 초구면다양체 구조 맥락에서 이러한 자기동형사상의 고정점 부분다양체를 분석하는 것.
• +1 고유값 고정점 부분다양체를 $G$의 정칙 격자 변환으로 정의된 재수형 부분군에 대응하는 표현의 모듈리 공간으로 식별하는 것.
• -1 고유값 고정점 부분다양체를 $G$의 실형식과 그 확장에 대응하는 표현의 모듈리 공간으로 식별하는 것.
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 및 $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$에 대해 일반적 프레임워크를 명시적 계산으로 설명하며, 특히 순서 3 자기동형사상의 경우 삼중성의 역할을 포함하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$와 Higgs 필드의 단위근 스케일링으로 유도된 $\mathcal{M}(G)$의 유한 차수 자기동형사상에 의한 고정점 부분다양체의 구조는 무엇인가요?
• RQ2 +1 및 -1 고유값의 경우 고정점 부분다양체는 기하학적 및 표현론적 성질 측면에서 어떻게 다릅니다?
• RQ3 +1 고유값의 경우 어떤 재수형 부분군이 표현 모듈리 공간의 대상으로 나타나나요?
• RQ4 -1 고유값의 경우 어떤 실형식과 그 확장이 라그랑주 고정점 부분다양체에 대응합니까?
• RQ5 삼중성은 $\mathcal{M}(\mathrm{Spin}(8,\mathbb{C}))$의 자기동형사상 구조에 어떻게 나타납니까?

주요 결과

• +1 고유값 자기동형사상의 고정점 부분다양체는 $\mathcal{M}(G)$의 초구면다양체이며, $G$의 정칙 격자 변환으로 정의된 재수형 부분군에 대한 $\pi_1(X)$의 표현 모듈리 공간에 대응한다.
• -1 고유값 자기동형사상의 고정점 부분다양체는 $\mathcal{M}(G)$의 라그랑주 부분다양체이며, $G$의 실형식과 그 일부 확장에 대한 $\pi_1(X)$의 표현 모듈리 공간에 대응한다.
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$의 경우, 자기동형사상은 명시적으로 기술되며, 외부 자동형사상과 Higgs 필드의 부호 반전으로 정의된 대칭 부분군에서 유래된 고정점 부분다양체를 포함한다.
• $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$의 경우, 삼중성을 사용하여 순서 3 자기동형사상을 구성하며, 모듈리 공간에 비자명한 작용을 유도하고 고정점 부분다양체는 삼중성 대칭성을 반영한다.
• $\mathcal{M}(G)$의 초구면다양체 구조는 +1 고유값의 경우 유지되며, -1 고유값의 경우 표현 공간의 실형식 구조로 인해 라그랑주 부분다양체가 유도된다.
• 일반적 구성은 $G$의 부분군 구조와 실형식에 대해 모듈리 공간의 자기동형사상과의 관계를 통일된 프레임워크로 제공하며, 기하학적 및 위상수학적 분류를 명시적으로 제공한다.