[논문 리뷰] Is Cheeger-type Approximation Possible for Nonuniform Sparsest Cut?

Luca Trevisan|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 12.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비균일한 희박한 컷 문제에 대해 체거 유형 근사—희박한 컷의 희박성에 대해 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $ bound를 확보하는 것—이 가능한지 조사한다. 일반적인 경우에 스펙트럴 방법, 레이튼-로우 LP, 고에만스-린이의 SDP 탄력화를 통한 근사가 불가능하다는 것을 증명하지만, $ H $가 랭크-1 그래프일 경우 고에만스-린이의 SDP를 통해 가능하다는 것을 보이고, $ H $가 단일 간선일 경우(즉, 최소 $ s $-$ t $-컷) 거의 선형 시간 체거 유형 근사가 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In the {\em nonuniform sparsest cut} problem, given two undirected graphs $G$ and $H$ over the same set of vertices $V$, we want to find a cut $(S,V-S)$ that minimizes the ratio between the fraction of $G$-edges that are cut and the fraction of $H$-edges that are cut. The ratio (which is at most 1 in an optimal solution) is called the {\em sparsity} of the cut. In the {\em uniform sparsest cut} problem, $H$ is a clique over $V$. If $G$ is regular, it is possible to find a solution to the uniform sparsest cut of cost $O(\sqrt{opt})$ in nearly linear time. Is such an approximation, which we call "Cheege-type" approximation, achievable in the non-uniform case? We show that the answer is negative, assuming the Unique Games Conjecture, for general H. Furthermore, the Leighton-Rao linear programming relaxation and the spectral relaxation fail to find such an approximation even if $H$ is a clique over a subset of vertices. Using semidefinite programming, however, we can find Cheeger-type approximations in polynomial time whenever the adjacency matrix of $H$ has rank 1. (This includes the cases in which $H$ is a clique over a subset of vertices.)

연구 동기 및 목표

• 비균일한 희박한 컷 문제에 대해 체거 유형 근사—$ O(\sqrt{\text{opt}}) $—가 가능한지 결정하는 것.
• 표준 탄력화(스펙트럴, 레이튼-로우, 고에만스-린이의 SDP)가 그러한 근사를 달성하는 데 있어 제약 조건을 분석하는 것.
• 일반적인 불가능성에도 불구하고 체거 유형 근사가 여전히 가능해지는 조건을 규명하는 것.
• 특수 케이스, 예를 들어 최소 $ s $-$ t $-컷 문제에 대해 거의 선형 시간 알고리즘을 탐색하는 것.
• 체거 유형 근사와 유일한 게임 추측 사이의 관계를 수립하는 것.

제안 방법

• 모든 $ \varepsilon > 0 $에 대해 $ \text{opt} = 1/2 $와 $ \text{opt} = \varepsilon $를 구분하는 것이 유일한 게임 난이도임을 증명하여, $ O(\sqrt{\text{opt}}) $ 근사가 불가능하다는 것을 의미한다.
• 비균일한 희박한 컷에서의 감소를 통해, 어떤 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $-근사 알고리즘이나도 유일한 게임 추측을 반증할 수 있음을 보여준다.
• 고에만스-린이의 SDP 탄력화를 분석하고, $ \text{opt} = 1/2 $일 때도 $ \text{sdp} = o(1) $인 경우가 존재하므로 $ \Omega(\sqrt{\text{sdp}}) $-유형의 경계가 불가능하다는 것을 보여준다.
• 스펙트럴 및 레이튼-로우 탄력화가 $ H $가 클리크이거나 랭크-1일 때조차도 체거 유형 근사를 달성하지 못한다는 것을 보여준다.
• $ H $가 랭크-1 그래프일 경우 체거 유형 근사를 달성할 수 있는 고에만스-린이의 SDP를 위한 새로운 라운딩 기법을 제안한다.
• $ s $-$ t $-컷 케이스에 거의 선형 시간 스펙트럴 방법을 적용하여, 최적의 유량 값이 $ \varepsilon $일 때 $ O(1/\sqrt{\varepsilon}) $-근사 컷을 찾을 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비균일한 희박한 컷 문제에 대해 체거 유형 근사—$ O(\sqrt{\text{opt}}) $—가 가능한가?
• RQ2 스펙트럴, 레이튼-로우, 또는 고에만스-린이의 SDP와 같은 표준 탄력화가 비균일한 경우에 체거 유형 근사를 달성할 수 있는가?
• RQ3 $ H $에 대한 어떤 구조적 조건이 일반적인 불가능성에도 불구하고 체거 유형 근사가 가능하게 하는가?
• RQ4 최소 $ s $-$ t $-컷 문제에 대해 체거 유형 근사를 달성하는 거의 선형 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 체거 유형 근사와 유일한 게임 추측 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 일반적인 비균일한 희박한 컷에 대해 체거 유형 근사는 불가능하다: $ \text{opt} = 1/2 $와 $ \text{opt} = \varepsilon $를 구분하는 것은 임의의 $ \varepsilon > 0 $에 대해 유일한 게임 난이도이다.
• 고에만스-린이의 SDP 탄력화는 $ \Omega(\sqrt{\text{sdp}}) $-유형의 경계를 달성하지 못한다. $ \text{opt} = 1/2 $이지만 $ \text{sdp} = o(1) $인 인스턴스가 존재하기 때문이다.
• 스펙트럴 및 레이튼-로우 탄력화는 $ H $가 클리프이거나 랭크-1일 때조차도 체거 유형 근사를 달성하지 못한다.
• 고에만스-린이의 SDP 라운딩을 통해 $ H $가 랭크-1 그래프일 경우 체거 유형 근사가 가능하다.
• $ s $-$ t $-컷 문제(즉, $ H $가 단일 간선일 경우)에서는 거의 선형 시간 체거 유형 근사가 가능하다: 최적의 흐름 값이 총 용량의 $ \varepsilon $ 배일 때, 총 용량의 $ O(\sqrt{\varepsilon}) $ 배에 해당하는 컷을 찾을 수 있다.
• 비균일한 희박한 컷 문제에 대해 다항 시간 내에 $ O(\sqrt{\text{opt}}) $-근사 알고리즘이 존재한다면, 그것은 유일한 게임 추측을 반증하는 것이다.