[논문 리뷰] Isogenous decomposition of the Jacobian of generalized Fermat curves

Mariela Carvacho, Rub ́ En A. Hidalgo외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p$ 에 대해 $(p,n)$ 유형의 일반화된 페르마 곡선의 아벨-자기다발의 등주 분해를 제시한다. 이는 순환 $p$-다각형 곡선의 아벨-자기다발들의 곱으로 이루어진다. 군 작용과 대수기하 기법을 사용하여, 이러한 $p$-다각형 곡선에 대한 명시적 방정식을 유도하고, 아벨-자기다발이 타원곡선의 곱 또는 고차원 아벨-자기다발의 곱과 등주임을 보여주며, 이러한 분해를 가진 새로운 리만 곡면의 가속도를 제공한다.

ABSTRACT

A closed Riemann surface $S$ is called a generalized Fermat curve of type $(p,n)$, where $p,n \geq 2$ are integers, if it admits a group $H \cong {\mathbb Z}_{p}^{n}$ of conformal automorphisms so that $S/H$ is an orbifold of genus zero with exactly $n+1$ cone points, each one of order $p$. It is known that $S$ is a fiber product of $(n-1)$ classical Fermat curves of degree $p$ and, for $(p-1)(n-1)>2$, that it is a non-hyperelliptic Riemann surface. In this paper, assuming $p$ to be a prime integer, we provide a decomposition, up to isogeny, of the Jacobian variety $JS$ as a product of Jacobian varieties of certain cyclic $p$-gonal curves. Explicit equations for these $p$-gonal curves are provided in terms of the equations for $S$. As a consequence of this decomposition, we are able to provide explicit positive-dimensional families of closed Riemann surfaces whose Jacobian variety is isogenous to the product of elliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 페르마 곡선의 아벨-자기다발이 등주 분해를 통해 낮은 종수의 아벨-자기다발들의 곱으로 분해될 수 있는지 결정하는 것.
• 소수 $p$ 에 대해 분해에 나타나는 $p$-다각형 곡선의 명시적 방정식을 제공하는 것.
• 타원곡선의 곱과 등주인 아벨-자기다발을 가진 양의 차원의 리만 곡면의 가속도를 구성하여, 이러한 분해에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.
• 초타원곡선과 페르마 곡선에 대한 기존 결과를, 아벨 군 자동사상 그룹을 가진 비초타원곡선의 더 넓은 범주로 확장하는 것.

제안 방법

• 저자는 $H \triangleleft \text{Aut}(S)$ 에서 $H \to \text{Aut}(S)$ 가 $\mathbb{Z}_p^n$ 와 동형임을 이용하여, 몫 $S/H$ 와 그 오비폴드 구조를 분석한다.
• 그들은 군 작용을 가진 곡선의 아벨-자기다발 분해에 관한 카니-로젠 정리를 적용하여, $JS$ 의 등주 분해를 도출한다.
• 각 $H_i$ 에 대해 $H$ 의 부분군으로서, 몫 $S/H_i$ 를 분석하여 그 종수와 서명을 결정함으로써 관련된 $p$-다각형 곡선을 특정한다.
• 일반화된 페르마 곡선의 정의 방정식을 바탕으로, 단일화와 군 작용 고려를 통해 $p$-다각형 곡선의 명시적 대수적 방정식을 구성한다.
• 이 방법은 분지점의 $r$-튜플과 그에 대응하는 단일화 자료의 분류에 의존하여, 관련 대수적 곡선 $E_{(a,\alpha)}$ 의 기약 성분을 정의한다.
• 이 분해는 주로 양의 정렬 아벨 다양체 이론과 푸앵카레의 완전 가역성 정리에 기반하여 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $p$ 에 대해 $(p,n)$ 유형의 일반화된 페르마 곡선의 아벨-자기다발이 등주 분해를 통해 낮은 종수의 곡선 아벨-자기다발들의 곱으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 이러한 분해에 나타나는 $p$-다각형 곡선의 명시적 방정식은 무엇인가?
• RQ3 기존의 초타원곡선 사례를 초월하여, 타원곡선의 곱과 등주인 아벨-자기다발을 가진 양의 차원의 리만 곡면의 가속도가 존재하는가?
• RQ4 일반화된 페르마 곡선의 자동사상 군의 구조는 그 아벨-자기다발의 등주 분해에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 소수 $p=2$ 에 대해, $\mathbb{Z}_2^4$ 작용을 가진 종수 5의 리만 곡면의 아벨-자기다발은 4개의 타원곡선의 곱과 등주이며, 이는 2차원 가속도를 이룬다.
• 종수 17의 리만 곡면의 1차원 가속도로, $\mathbb{Z}_2^5$ 작용을 가지며 아벨-자기다발이 타원곡선의 곱과 등주이다.
• 종수 49의 리만 곡면으로, $\mathbb{Z}_2^6$ 작용을 가지며 아벨-자기다발이 24개의 타원곡선의 곱과 등주이다.
• 소수 $p=3$ 에 대해, 종수 10의 리만 곡면의 1차원 가속도로, $\mathbb{Z}_3^3$ 작용을 하며 몫이 종수 0이고 순서 3의 삼중 첨점 3개를 가지며, 아벨-자기다발이 5개의 타원곡선과 5차원 아벨-자기다발 1개의 곱과 등주이다.
• 소수 $p=3$ 에 대해, 종수 65의 리만 곡면의 2차원 가속도로, $\mathbb{Z}_3^4$ 작용을 하며 몫이 종수 0이고 순서 3의 오목점 5개를 가지며, 아벨-자기다발이 40개의 타원곡선과 5개의 5차원 아벨-자기다발의 곱과 등주이다.
• 종수 21인 고전적 페르마 곡선 $F_8$ 의 아벨-자기다발은 $E_2^{21}$ 과 등주이며, 여기서 $E_2: v^2 = u^4 + 1$ 이다. 이는 문헌에 있는 추측을 확인한다.