[논문 리뷰] Isolated and nilpotent subsemigroups in the variants of $\IS$

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|2005. 08. 20.

semigroups and automata theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 역대 대칭 반군 $\mathcal{IS}_n$ 의 변형에서 고립, 완전 고립, 그리고 멱등 부분반군을 완전히 분류한다. 이는 최대 멱등 부분반군이 특정 집합의 순서형 $A$-분할에 일대일 대응되며, $k=2$ 일 때는 블록 크기의 다중집합 또는 그 역순에 의해, $k>2$ 일 때는 크기 튜플 자체에 의해 결정됨을 규명한다. 분류는 등급원소의 구조 분석과 샌드위치 연산의 순서론적 성질에 기반한다.

ABSTRACT

All isolated, completely isolated, and nilpotent subsemigroups in the semigroup $\IS$ of all injective partial transformations of an $n$-element set, considered as a semigroup with a sandwich multiplication are described.

연구 동기 및 목표

• 역대 대칭 반군 $\mathcal{IS}_n$ 의 변형에서 샌드위치 곱에 대한 모든 고립 및 완전 고립 부분반군을 특성화하기.
• 특히 주어진 멱등성 차수 $k$ 를 가진 멱등 부분반군의 구조를 완전히 기술하기.
• 블록 크기 구성 분석을 통해 최대 멱등 부분반군의 동형 유형을 결정하기.

제안 방법

• 비자기 등급원소인 $\alpha$ 를 사용하여 샌드위치 곱 $x *_{\alpha} y = x\alpha y$ 를 정의함으로써 $\mathcal{IS}_n$ 의 변형을 구성하기.
• 등급원소를 $\operatorname{dom}(\alpha)$ 에 포함하는 집합으로 식별함으로써 구조적 분해를 가능하게 하기.
• 최대 멱등 부분반군을 매개화하기 위해 $M = \overline{A}^{(1)} \cup A \cup \overline{A}^{(2)}$ 의 순서형 $A$-분할을 정의하기.
• 모든 원소가 $M_i$ 에서 $M_j$ 로만 사상하는 부분순열 집합인 $T(M_1, \dots, M_k)$ 을 구성함으로써 멱등성 차수 $k$ 를 확보하기.
• 부분반군 $S$ 와 관련된 순서관계 $\Lambda_S$ 를 사용하여 그 구조를 $M$ 의 분할과 연결하고, 순서 유형의 최대성으로 최대성을 증명하기.
• 기존의 $\mathcal{IS}(M)$ 의 멱등 부분반군에 관한 결과를 응용하여, 블록 크기 튜플에 기반한 동형 및 반동형 조건 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변형된 $\mathcal{IS}_n$ 에서 고립 및 완전 고립 부분반군의 완전한 구조는 무엇인가?
• RQ2 샌드위치 변형된 $\mathcal{IS}_n$ 에서 주어진 멱등성 차수 $k$ 를 가진 멱등 부분반군은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 두 최대 멱등 부분반군이 차수 $k$ 에 대해 동형 또는 반동형이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $(\mathcal{IS}_n, *_{\alpha})$ 에서 유일한 완전 고립 부분반군은 $\mathcal{C}_A$, $\mathcal{IS}_n$ 에서의 그 여집합, 그리고 전체 반군 뿐이다.
• 멱등성 차수 $k$ 를 가진 최대 멱등 부분반군은 집합 $M = \overline{A}^{(1)} \cup A \cup \overline{A}^{(2)}$ 의 순서형 $A$-분할 $M = M_1 \cup \cdots \cup M_k$ 와 일대일 대응된다.
• 각 부분반군 $T(M_1, \dots, M_k)$ 는 순서 블록의 순서관계에 의해 생성된 단항 부분반군인 $\operatorname{Mon}(\operatorname{ord}(M_1, \dots, M_k))$ 와 같다.
• $k=2$ 일 때, 두 최대 멱등 부분반군이 동형이 되는 것은 그 크기 튜플이 서로 같거나 역순일 때이고, $k>2$ 일 때는 크기 튜플이 정확히 일치할 때이다.
• 두 부분반군 사이의 반동형 관계는 정확히 크기 튜플이 서로 역순일 때 성립한다.
• 멱등 부분반군 $S$ 의 유형은 $k$-튜플 $(|M_1|, \dots, |M_k|)$ 으로 정의되며, $k>2$ 일 때는 그 동형류를 완전히 결정하고, $k=2$ 일 때는 반동형류를 완전히 결정한다.