[논문 리뷰] Isoperimetric, Sobolev and Poincaré inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups

Francescopaolo Montefalcone|ArXiv.org|2009. 10. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 51인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수직 리만다이언 서브리만다이언 캐노니컬 군 내의 매끄러운 초표면에서 등주, 소볼레프, 파인카레 부등식을 수립한다. 이를 위해 수평 코아레아 공식, 특성점에서 유효한 블로업 정리, 그리고 수평 둘레의 일반화된 제1변화 공식을 개발하였다. 핵심 기여는 수평 평균 곡률를 포함하는 날카운 등주 부등식이며, 이는 특성 집합이 제어되는 컴팩트 초표면에서 관련된 소볼레프 및 파인카레 유형 부등식을 암시한다.

ABSTRACT

In this paper we shall study smooth submanifolds immersed in a k-step Carnot group G of homogeneous dimension Q. Among other results, we shall prove an isoperimetric inequality for the case of a $C^2$-smooth compact hypersurface S with - or without - boundary $\partial S$; S and $\partial S$ are endowed with their homogeneous measures, actually equivalent to the intrinsic (Q-1)-dimensional and (Q-2)-dimensional Hausdorff measures with respect to some homogeneous metric $\varrho$ on G; see Section 5. This generalizes a classical inequality, involving the mean curvature of the hypersurface, proven by Michael and Simon [63] and, independently by Allard [1]. In particular, from this result one may deduce some related Sobolev-type inequalities; see Section 7. The strategy of the proof is inspired by the classical one. In particular, we shall begin by proving some linear isoperimetric inequalities. Once this is proven, one can deduce a local monotonicity formula and then conclude the proof by a covering argument. We stress however that there are many differences, due to our different geometric setting. Some of the tools which have been developed ad hoc in this paper are, in order, a ``blow-up'' theorem, which also holds for characteristic points, and a smooth Coarea Formula for the HS-gradient; see Section 3 and Section 4. Other tools are the horizontal integration by parts formula and the 1st variation of the H-perimeter already developed in [68], [69], and here generalized to hypersurfaces having non-empty characteristic set. Some natural applications of these results are in the study of minimal and constant horizontal mean curvature hypersurfaces. Moreover we shall prove some purely horizontal, local and global Poincaré-type inequalities as well as some related facts and consequences; see Section 4 and Section 5.

연구 동기 및 목표

• 카노니컬 군의 서브리만다이언 설정으로 고전적 등주, 소볼레프, 파인카레 부등식을 확장하기.
• 경계가 있는지 여부에 관계없이 C^2-매끄러운 컴팩트 초표면에 대해 이러한 부등식을 수립하기, 특히 비어 있지 않은 특성 집합을 가진 경우 포함.
• 수평 코아레아 공식(수평 기울기용)과 특성점에서 유효한 블로업 정리와 같은 기하학적 도구 개발하기.
• 특성 집합이 0이 아닌 초표면에 대해 수평 둘레의 제1변화 공식을 일반화하기.
• 카노니컬 군 내 초표면에서 전역 및 국소 파인카레 유형 부등식과 관련된 소볼레프 임베딩 유도하기.

제안 방법

• 마이클과 시몬, 올라드의 고전적 증명 전략을 따르되, 먼저 선형 등주 부등식을 증명한다.
• 수평 기울기용 수평 코아레아 공식을 도입하여 수평 거리 함수의 등고선 집합 위에서의 적분을 가능하게 한다.
• 특성점에서도 유효한 수평 둘레에 대한 블로업 정리를 개발하여 국소 분석에 핵심적이다.
• 선형 등주 부등식에서 유도된 약한 단조성 공식과 커버링 추론을 사용하여 주 등주 부등식을 증명한다.
• 강력한 선형 부등식과 그 단조성 공식을 적용하여 수평 둘레의 渐近적 행동과 전역 부등식을 도출한다.
• 특성 집합이 비어 있지 않은 초표면에 대해 수평 둘레의 제1변화를 일반화하여 특이점에서의 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-단계 카노니컬 군 내 C^2-매끄러운 초표면에 대해 수평 평균 곡률를 포함하는 날카운 등주 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 비통합 가능한 분포를 가진 서브리만다이언 설정에서 마이클과 시몬의 고전적 증명 전략을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 특성점은 서브리만다이언 초표면에서 등주 및 소볼레프 이론에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 기하 설정에서 등주 부등식으로부터 전역 및 국소 파인카레 유형 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 카노니컬 군 내 초표면에서 정확한 소볼레프 임베딩은 무엇이며, 이는 동차 차원 Q에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• k-단계 카노니컬 군 내 C^2-매끄러운 컴팩트 초표면 S에 대해, 수평 평균 곡률와 동차 (Q-1)-차원 하우스도르프 측도를 포함하는 등주 부등식이 증명되었다.
• 전역 소볼레프 유형 부등식이 수립되었다: 모든 ψ ∈ C^1_0(S)에 대해, ψ의 L^{(Q-1)/(Q-2)}-노름은 |ψ|의 L^1-노름과 |grad_H S ψ|의 L^1-노름의 합에 비례하는 상수배로 유계이다.
• p ∈ [1, Q-1[ 에 대해 소볼레프 임베딩이 성립한다: 모든 q ∈ [p, p*]에 대해, ψ의 L^q(S)-노름은 L^p(S)-노름과 |grad_H S ψ|의 L^p(S)-노름의 합에 비례하는 상수배로 유계이다.
• p = Q-1일 때, ψ의 L^q(S)-노름은 모든 q ∈ [Q-1, ∞[ 에 대해 동일한 노름 통제 조건으로 유계이다.
• 강력한 선형 등주 부등식이 도출되었으며, 이는 수평 둘레에 대한 단조성 공식을 암시한다. 이 공식은 점 근처 수평 둘레의 渐近적 행동 분석에 사용된다.
• 가정 (H) 또는 (H2) 하에, S 내 상대적으로 컴팩트 열린 집합 U의 경계의 수평 둘레가 거리 함수의 수평 기울기의 총 변동량의 상수배로 통제됨을 증명하였다.