[논문 리뷰] Iterated distributive laws

Eugenia Cheng|ArXiv.org|2007. 10. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양-바스터 방정식을 만족하는 반복적 분배 법칙을 통해 고전적인 모나드 간 분배 법칙 이론을 n개의 모나드로 확장하여, n개의 대수적 구조를 일관적으로 조합할 수 있는 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 n차원 글로부라 집합 위에서 자유로운 엄격한 n-카테고리 모나드를 이 프레임워크를 사용해 구성하는 것이다. 여기서 i-세포에 沿한 합성에 대한 모나드 간 분배 법칙은 필요한 일관성 조건을 만족한다.

ABSTRACT

We give a framework for combining $n$ monads on the same category via distributive laws satisfying Yang-Baxter equations, extending the classical result of Barr and Wells which combines two monads via one distributive law. We show that this corresponds to iterating $n$-times the process of taking the 2-category of monads in a 2-category, extending the result of Street characterising distributive laws. We show that this framework can be used to construct the free strict $n$-category monad on $n$-dimensional globular sets; we first construct for each $i$ a monad for composition along bounding $i$-cells, and then we show that the interchange laws define distributive laws between these monads, satisfying the necessary Yang-Baxter equations.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 두 모나드 간 분배 법칙 프레임워크를 n개의 모나드로 일반화하기.
• 반복적 분배 법칙을 통한 n개의 대수적 구조를 일관적으로 조합하는 방법 제공하기.
• 자유로운 엄격한 n-카테고리 모나드가 이 반복적 분배 법칙 구성에서 유도됨을 보여주기.
• 결과로 얻어진 분배 법칙이 양-바스터 방정식을 만족함을 확인하여 일관성 보장하기.
• n-카테고리에서 i-세포에 沿한 합성에 대한 모나드를 사용한 구성 시연하기.

제안 방법

• 동일한 카테고리 위의 n개 모나드 간 반복적 분배 법칙 정의하기. 이는 고전적인 두 모나드 케이스를 일반화한 것이다.
• 모나드의 형식 이론을 사용하여 이러한 법칙을 모나드의 2-카테고리 내의 사상으로 특성화하기.
• 각 i에 대해, n-카테고리에서 i-차원 세포에 沿한 합성을 처리하는 모나드 T_i^{(n)} 구성하기.
• 이 모나드 간의 교환 법칙이 양-바스터 방정식을 만족하는 분배 법칙을 정의함을 보여주기.
• 복합 모나드 T_0^{(n)} ∘ T_1^{(n)} ∘ ⋯ ∘ T_{n-1}^{(n)} 이 자유로운 엄격한 n-카테고리 모나드와 동형임을 증명하기.
• 자유로운 카테고리 모나드가 카르테시안임을 이용하여 분배 법칙 구성에서 요구되는 피보트 구조가 유지됨을 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분배 법칙은 두 개 이상의 모나드를 조합할 때도 결합 법칙과 항등원 법칙을 유지하면서 일관되게 확장될 수 있는가?
• RQ2 반복적 분배 법칙이 복합 모나드가 잘 정의되도록 하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 i-세포 합성에 대한 모나드 간 분배 법칙의 순서를 사용하여 자유로운 엄격한 n-카테고리 모나드를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 n-카테고리에서 i-세포 합성에 대한 모나드 간 분배 법칙은 양-바스터 방정식을 만족하는가?
• RQ5 n-카테고리에서 격자형 합성(수평/수직)을 분배 법칙을 통해 표준적인 방식으로 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 반복적 분배 법칙 프레임워크를 통해 양-바스터 방정식을 만족하는 분배 법칙의 순서를 통해 n개의 모나드를 일관적으로 조합할 수 있다.
• 자유로운 엄격한 n-카테고리 모나드는 i-세포에 沿한 합성을 다루는 n개의 모나드의 복합체로 구성되며, 이들 사이에 분배 법칙이 존재한다.
• T_0^{(n)}과 T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)} 사이의 분배 법칙은 레인스터가 자유로운 엄격한 n-카테고리 모나드를 구성하는 데 사용한 것과 정확히 일치한다.
• 이 구성은 자유로운 카테고리 모나드가 카르테시안임을 이용하여, 분배 법칙 구성에서 요구되는 피보트 구조가 유지됨을 보장한다.
• T_0^{(n)}T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)}에서 T_1^{(n)}⋯T_{n-1}^{(n)}T_0^{(n)}로의 반대 방향 분배 법칙은 존재하지 않는다. 이는 높이가 다른 기둥을 동일한 높이의 격자로 표준적으로 매핑할 수 없기 때문이다.
• 이 프레임워크는 고전 결과를 일반화한다: 바르와 웰스의 두 모나드 분배 법칙과 스트리트의 모나드의 형식 이론을 n-항으로 확장한다.