[논문 리뷰] Limits in $n$-categories

Carlos Simpson|ArXiv.org|1997. 08. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $n$-범주에서의 극한을 통합된 프레임워크로 제안하며, 범주론적 및 호모토피론적 극한을 일반화하여, 편재하는 $n$-범주에서 유일성 성질을 통해 직접 및 역극한을 정의한다. 주요 결과는 $n+1$-범주 $nCAT'$에서 임의의 역극한과 직접극한이 존재함을 증명하며, 고차 호모토피적 환경으로의 고전적 범주론적 극한의 일반화를 제공한다.

ABSTRACT

We define notions of direct and inverse limits in an $n$-category. We prove that the $n+1$-category $nCAT'$ of fibrant $n$-categories admits direct and inverse limits. At the end we speculate (without proofs) on some applications of the notion of limit, including homotopy fiber product and homotopy coproduct for $n$-categories, the notion of $n$-stack, representable functors, and finally on a somewhat different note, a notion of relative Malcev completion of the higher homotopy at a representation of the fundamental group.

연구 동기 및 목표

• 범주론적 극한과 호모토피론적 holim을 통합하는 $n$-범주에서의 극한의 일관된 개념을 개발하기 위해.
• 고차 극한에 대한 체계적인 다루지 않은 점을 해결하기 위해.
• 편재하는 $n$-범주로 이루어진 $n+1$-범주 $nCAT'$에서의 역극한과 직접극한에 대한 기본 존재 정리 수립을 위해.
• 고차 스택 이론, 표현 가능 함수자, 호모토피 유형의 상대 Malcev 완비화에 응용을 제안하기 위해.
• 고전적 범주론과 현대 호모토피 대수학 사이의 개념적 다리를 $n$-범주적 극한을 통해 제공하기 위해.

제안 방법

• 모르는 $(n-1)$-범주 간의 사상의 동치를 포함하는 유일성 성질을 이용해, $n$-범주 $C$에서 직접극한과 역극한을 정의한다.
• 모서리에 $n$-precats를 갖는 고차원 단체로 기능하는 $n+1$-precat $\Upsilon^k(E_1,\ldots,E_k)$를 기술적 도구로 사용한다.
• 역극한을 $nCAT'$에서 $\operatorname{Hom}_{\underline{Hom}(A,C)}(\ast,\varphi)$로 구성하며, 집합론적 역극한을 일반화한다.
• 직접극한의 경우, 이중성 기법을 사용한다: $\psi \to B$인 사상들을 매개변수화하는 보조 $n+1$-범주 $D$를 구성한 후, $D \to nCAT'$의 평가 함자를 통해 역극한을 취한다.
• 집합론적 문제를 해결하기 위해, 크기가 유한한 카디널리티를 갖는 부분범주 $D_\alpha$로 제한하여 소형성과 기초적 장애를 피한다.
• 이 프레임워크를 적용하여, 스택과 군oids로 이루어진 적절한 $n+1$-범주에서의 역극한을 통해 고차 호모토피 유형의 상대 Malcev 완비화를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주론에서의 고전적 극한 개념을 고차 호모토피 정보를 포함하도록 $n$-범주로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 편재하는 $n$-범주로 이루어진 $n+1$-범주 $nCAT'$에서의 역극한과 직접극한이 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 극한의 개념을 이용하여 호모토피 이론에서 Malcev 완비화의 고차 대응체를 정의하고 연구할 수 있는가?
• RQ4 $nCAT'$에서의 호모토피 쌓기와 섬유곱은 $n$-범주의 닫힌 모델 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 표현 가능 함수자와 내부 호모모르피즘은 $n$-범주에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 언제 극한을 통해 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $n+1$-범주 $nCAT'$는 임의의 역극한과 직접극한을 포함하며, 이는 고전적 $\mathbf{Sets}$에서의 극한 존재성(즉, $n=0$의 경우)을 일반화한다.
• $nCAT'$에서의 역극한은 $\operatorname{Hom}_{\underline{Hom}(A,C)}(\ast,\varphi)$로 구성되며, 사상의 $(n-1)$-범주 간의 동치를 통해 유일성 성질을 만족한다.
• 직접극한은 이중성 기법을 통해 구성된다: $\psi \to B$인 사상들을 매개변수화하는 범주 $D$를 만들고, 평가 함자 $D \to nCAT'$의 역극한을 취하며, 카디널리티 제한으로 집합론적 문제를 해결한다.
• 공간 $X$의 고차 호모토피 유형에 대한 상대 Malcev 완비화 $Malc(X,\rho)$는, 유니포텐트 기본군을 갖는 $n$-군oids의 적절한 부분범주에서의 $nCAT'$ 내 역극한으로 정의된다.
• 복소수 위에서 정의된 다양체 $X$에 대해, Betti, de Rham, Dolbeault 형태의 Malcev 완비화는 자연스럽게 동치이다: $Malc(X_B,\rho)/\mathbb{C} \cong Malc(X_{DR},P)/\mathbb{C} \cong Malc(X_{Dol},Q)/\mathbb{C}$.
• 추측에 따르면, $Malc(X_B,\rho)/\mathbb{R}$는 혼합 Hodge 구조를 지니며, $Malc(X_B,\rho)/\mathbb{C}$는 혼합 트위스터 구조를 지닌다. 이는 고전적 Hodge 이론의 아이디어를 고차 호모토피 유형으로 확장한다.