[논문 리뷰] Iterating the Cuntz-Nica-Pimsner construction for compactly aligned product systems

James E. Fletcher|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Deaconu의 반복적 Toeplitz 및 Cuntz–Pimsner 대수 구축법을 비아벨적 반군에 대한 일반화하고, 특히 군이 준격자 순서가 부여된 군의 반직접곱인 경우에 대해, $\mathbb{N}^k$ 위의 제품계에 대한 Nica–Toeplitz 및 Cuntz–Nica–Pimsner 대수들이 각각 반복적 Toeplitz 및 Cuntz–Pimsner 대수의 $k$-중 반복으로 표현될 수 있음을 증명한다. 이를 통해 반복 구축법과 원래 대수들 사이의 동형관계를 확립한다.

ABSTRACT

In this article we study how decompositions of a quasi-lattice ordered group $(G,P)$ relate to decompositions of the Nica-Toeplitz algebra $\mathcal{NT}_\mathbf{X}$ and Cuntz-Nica-Pimsner algebra $\mathcal{NO}_\mathbf{X}$ of a compactly aligned product system $\mathbf{X}$ over $P$. In particular, we are interested in the situation where $(G,P)$ may be realised as the semidirect product of quasi-lattice ordered groups. Our results generalise Deaconu's work on iterated Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras - we show that the Nica-Toeplitz algebra and Cuntz-Nica-Pimsner algebra of a compactly aligned product system over $\mathbb{N}^k$ may be realised as $k$-times iterated Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras respectively.

연구 동기 및 목표

• 비아벨적 반군에 대한 Deaconu의 반복적 Toeplitz 및 Cuntz–Pimsner 대수에 관한 불완전한 결과를 명확히 하고 확장한다.
• 준격자 순서가 부여된 군 $(G,P)$가 반직접곱으로 분해될 때, 이에 대응하는 Nica–Toeplitz 및 Cuntz–Nica–Pimsner 대수의 분해가 어떻게 유도되는지 조사한다.
• $\mathbb{N}^k$ 위의 제품계에 대한 Cuntz–Nica–Pimsner 대수가 그 하위계의 Cuntz–Pimsner 대수들의 $k$-중 반복으로 생성됨을 확립한다.
• Katsura의 $\mathcal{O}_X$ 결과를 Nica–Toeplitz 및 Cuntz–Nica–Pimsner 대수로 확장하기 위한 엄밀한 기반을 제공한다.

제안 방법

• 준격자 순서가 부여된 군 $(G,P) = (H \rtimes K, Q \times R)$의 반직접곱 위에 제품계 $\mathbf{X}$를 구성한다. 여기서 $P = Q \times R$이다.
• Nica 공액성과 Cuntz–Nica–Pimsner 공액성을 만족하는 유일표현을 통해 Nica–Toeplitz 대수 $\mathcal{NT}_{\mathbf{X}}$와 Cuntz–Nica–Pimsner 대수 $\mathcal{NO}_{\mathbf{X}}$를 정의한다.
• 반복적 구축법을 도입한다: 먼저 하위계 $\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}$의 Nica–Toeplitz 대수를 구성한 후, 이를 기반으로 Cuntz–Nica–Pimsner 대수 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}}$를 형성한다.
• 이so모르피즘 $\omega: \mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \to \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$와 그 역 $\omega'$를 구성하며, 유니버설 성질과 선형 사상의 연속성을 통해 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \cong \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$임을 보인다.
• 유니버설 성질을 활용하여 $\mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$와 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}}$의 각 대수에서 $\omega \circ \omega'$ 및 $\omega' \circ \omega$의 조합이 항등사상임을 검증한다.
• $\mathbb{N}^k$-급 시스템에 적용하여, $k$-중 반복이 원래의 $\mathcal{NT}_{\mathbf{X}}$ 및 $\mathcal{NO}_{\mathbf{X}}$ 대수를 복원함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Deaconu의 Toeplitz 및 Cuntz–Pimsner 대수에 대한 반복적 구축법은 $\mathbb{Z}^2$를 초월하여 더 일반적인 준격자 순서가 부여된 군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기초 군 $(G,P)$가 반직접곱으로 분해될 때, 이에 대응하는 Nica–Toeplitz 및 Cuntz–Nica–Pimsner 대수의 구조는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 제품계가 $\mathbb{N}^k$ 위에 정의된 Cuntz–Nica–Pimsner 대수는 그 하위계의 Cuntz–Pimsner 대수들의 $k$-중 반복과 동형인가?
• RQ4 제품계가 $\mathbb{N}^k$ 위에 정의된 Nica–Toeplitz 대수는 그 하위계의 Toeplitz 대수들의 $k$-중 반복으로 생성되는가?
• RQ5 유니버설 성질과 연속성에 의해 반복적 구축법과 원래 대수들 사이의 동형관계를 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 제품계가 $\mathbb{N}^k$ 위에 정의된 Cuntz–Nica–Pimsner 대수는 그 하위계의 Cuntz–Pimsner 대수들의 $k$-중 반복과 동형이다.
• 제품계가 $\mathbb{N}^k$ 위에 정의된 Nica–Toeplitz 대수는 그 하위계의 Toeplitz 대수들의 $k$-중 반복과 동형이다.
• 명시적인 이so모르피즘 $\omega: \mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \to \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$와 그 역 $\omega'$를 구성하여 $\mathcal{NO}_{\mathbf{Y}^{\mathcal{NT}}} \cong \mathcal{NT}_{\mathbf{W}^{\mathcal{NO}}}$임을 증명한다.
• 이so모르피즘은 생성 표현에서 $\omega \circ \omega'$ 및 $\omega' \circ \omega$가 항등사상으로 작용함을 검증함으로써 확립된다.
• 이 결과는 Deaconu의 작업을 일반화하여, 준격자 순서가 부여된 군의 일반적인 반직접곱 위의 밀착된 제품계에 대한 반복적 구축법에 엄밀한 프레임워크를 제공한다.
• 이 프레임워크를 통해 Katsura의 $\mathcal{O}_X$ 결과를 $\mathbb{N}^k$-급 시스템의 Nica–Toeplitz 및 Cuntz–Nica–Pimsner 대수로 확장할 수 있다.