[논문 리뷰] Iterative and Iterative-Noniterative Integral Solutions in 3-Loop Massive QCD Calculations

Jakob Ablinger, Arnd Behring외 7명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3-루프 질량이 있는 QCD 계산에서 나타나는 완전 타원적 적분과 고차 초월함수를 포함하는 반복적이지 않은 적분—즉, 반복적이지 않은 적분 구조—를 소개한다. 이 구조는 모듈라 형식, 람베르트-아이젠슈타인 급수, q-급수 전개를 활용한 체계적인 프레임워크를 통해 표현되며, Sigma와 HarmonicSums와 같은 기호 계산 도구를 통해 비반복적 구조의 자동 계산이 가능하게 한다. 이는 이异常 차원과 연산자 매트릭스 원소의 자동 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Various of the single scale quantities in massless and massive QCD up to 3-loop order can be expressed by iterative integrals over certain classes of alphabets, from the harmonic polylogarithms to root-valued alphabets. Examples are the anomalous dimensions to 3-loop order, the massless Wilson coefficients and also different massive operator matrix elements. Starting at 3-loop order, however, also other letters appear in the case of massive operator matrix elements, the so called iterative non-iterative integrals, which are related to solutions based on complete elliptic integrals or any other special function with an integral representation that is definite but not a Volterra-type integral. After outlining the formalism leading to iterative non-iterative integrals,we present examples for both of these cases with the 3-loop anomalous dimension $\gamma_{qg}^{(2)}$ and the structure of the principle solution in the iterative non-interative case of the 3-loop QCD corrections to the $ ho$-parameter.

연구 동기 및 목표

• 표준 반복적 다이로그함수를 초월하여 3-루프 질량이 있는 QCD 계산에서 비반복적 적분 구조가 어떻게 나타나는지 다루는 것.
• 페인만 적분에서 제1종 및 제2종 완전 타원적 적분을 포함하는 해의 체계적 표현을 개발하는 것.
• 질량이 있는 연산자 매트릭스 원소에서 발생하는 인수분리되지 않은 2차 미분방정식을 다룰 수 있도록 기호 계산 기법을 확장하는 것.
• 고급 대수적 및 특수함수 도구를 활용하여 3-루프 이异常 차원과 윌슨 계수의 자동 평가를 가능하게 하는 것.
• 기존의 타원적 다이로그함수 프레임워크를 확장하여 물리적 진폭에 q-의존 매개변수와 모듈라 형식을 포함하는 것.

제안 방법

• 한 개의 커널이 볼테라 형식의 적분으로 표현되지 않는 정적분(예: 멜린-바른스 또는 타원적 적분)인 중첩 적분으로서 반복적이지 않은 적분을 수학적으로 정의한다.
• Sigma 패키지를 사용하여 인수분리되지 않은 2차 미분방정식을 식별하고, 유리수 계수를 가진 비동차 형태로 간소화한다.
• 2차 미분방정식의 해를 기저 함수로 하는 초함수 2F1 함수로 표현하고, 이를 연속성 및 삼각형군 관계를 통해 완전 타원적 적분 K와 E로 매핑한다.
• q = exp[−πK(1−z)/K(z)]를 통한 모듈라 매개변수화를 적용하여 운동량 변수와 비동차 항을 모듈라 함수 및 형식으로 표현한다.
• 람베르트-아이젠슈타인 급수와 타원적 다이로그함수를 사용하여 q-급수 해를 구성함으로써 x=0과 x=1 주변에서 해석적이고 빠르게 수렴하는 전개를 가능하게 한다.
• Mellin 공간에서 차분 및 미분방정식의 해를 자동화하기 위해 Sigma, EvaluateMultiSums, SumProduction, HarmonicSums를 활용한 기호 계산 파이프라인을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복적이지 않은 적분 구조는 3-루프 질량이 있는 QCD 계산에서 어떻게 발생하며, 표준 반복적 적분과는 무엇이 다른가?
• RQ2 질량이 있는 연산자 매트릭스 원소에서 발생하는 인수분리되지 않은 2차 미분방정식의 해의 기능적 구조는 어떠한가?
• RQ3 완전 타원적 적분과 그 조합을 3-루프 페인만 적분의 해를 체계적으로 표현하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ4 모듈라 형식과 타원적 다이로그함수에 기반한 q-급수 전개가 비반복적 적분을 위한 통합 프레임워크를 얼마나 잘 제공할 수 있는가?
• RQ5 기호 계산 도구는 이러한 비반복적 구조의 대수적 복잡성을 다룰 수 있는가? 이를 통해 이异常 차원과 윌슨 계수의 자동 계산이 가능해지는가?

주요 결과

• 3-루프 이异常 차원 γ(2)qg는 비반복적 적분 구조를 포함하며, 이는 비분리 가능한 2차 미분방정식에 완전 타원적 적분 K와 E가 나타나기 때문이다.
• 3-루프 순서에서 ρ-파라미터 보정의 미분방정식 해는 연속성 및 삼각형군 관계를 통해 K와 E로 매핑되는 2F1 함수로 표현된다.
• 3-루프 ρ-파라미터 보정의 비동차 해는 2F1 함수의 z-의존성이 적분 경계로 간소화될 수 없기 때문에 반복적이지 않은 적분으로 나타난다.
• x=0과 x=1 주변에서의 멱급수 전개는 단지 50개의 항만으로도 O(10−30) 수준의 정밀도를 달성하여 매우 빠른 수렴을 보였다.
• 모듈라 형식과 람베르트-아이젠슈타인 급수를 사용하여 q-급수 해를 구성하였으며, K(z)와 1/K(z)와 같은 핵심 구성 요소들이 q-의존 매개변수를 가진 타원적 다이로그함수로 표현되었다.
• 모듈라 형식에 1/ηk(τ) 요소가 존재함으로써 표준 타원적 다이로그함수로의 완전한 대각화가 불가능해지며, 이는 매개변수 x와 y가 q에 의존하는 일반화된 프레임워크가 필요함을 시사한다.