[논문 리뷰] Iterative Volume-of-Fluid interface positioning in general polyhedrons with Consecutive Cubic Spline interpolation

Tomislav Marić|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 03.

Fluid Dynamics and Heat Transfer참고 문헌 29인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비정렬 다면체 셀 내에서 볼륨 오브 플루이드(Volume-of-Fluid, VOF) 방법에서 평면 인터페이스를 위치시키는 데 매우 효율적인 반복적 방법인 연속 입방 스퍼블라인(CC Spline, CCS) 알고리즘을 제안한다. 기존 기하 데이터를 활용하고 입방 스퍼블라인 보간을 사용한 두 점 근사 방법을 적용함으로써, 10−12 이내의 정밀도로 조건부로 평균 2회 이내의 반복만으로 수렴을 이룰 수 있으며, 0 또는 1에 가까운 극단적인 체적 분율 조건에서도 기존 방법들보다 훨씬 뛰어난 계산 효율성과 구현 용이성을 확보한다.

ABSTRACT

A straightforward and computationally efficient Consecutive Cubic Spline (CCS) iterative algorithm is proposed for positioning the planar interface of the unstructured geometrical Volume-of-Fluid method in arbitrarily-shaped cells. The CCS algorithm is a two-point root-finding algorithm specifically designed for the VOF interface positioning problem, where the volume fraction function has diminishing derivatives at the ends of the search interval. As a two-point iterative algorithm, CCS re-uses function values and derivatives from previous iterations and does not rely on interval bracketing. The CCS algorithm only requires only two iterations on average to position the interface with a tolerance of $10^{-12}$, even with numerically very challenging volume fraction values, e.g. near $10^{-9}$ or $1-10^{-9}$. The proposed CCS algorithm is very straightforward to implement because its input is already calculated by every geometrical VOF method. It builds upon and significantly improves the predictive Newton method and is independent of the cell's geometrical model and related intersection algorithm. Geometrical parametrizations of truncated volumes used by other contemporary methods are completely avoided. The computational efficiency is comparable in terms of the number of iterations to the fastest methods reported so far. References are provided in the results section to the open-source implementation of the CCS algorithm and the performance measurement data.

연구 동기 및 목표

• 일般적인 비정렬 다면체 셀에서 볼륨 오브 플루이드(VOF) 방법에 대해 계산적으로 효율적이고 견고한 인터페이스 위치 결정 알고리즘을 개발하는 것.
• 특히 체적 분율이 0 또는 1에 가까운 경우에 발생하는 높은 계산 비용과 수치적 불안정성 문제를 해결하는 것.
• 이전 방법에서 사용하는 절단 체적의 복잡한 기하 매개변수화가 필요 없도록 하는 것.
• 이미 존재하는 기하 VOF 솔버에 쉽게 통합할 수 있도록 하되, 셀 데이터 구조를 수정하지 않는 것.

제안 방법

• CCS 알고리즘은 인터페이스 위치를 셀의 법선 방향에 따라 스칼라 값 s로 매개변수화하여, 인터페이스 위치를 셀의 법선 방향에 있는 스칼라 s로 표현한다.
• 인터페이스 위치 결정 문제를 함수 ˜α(s) = αc(s) − αc의 근을 찾는 문제로 재구성한다. 여기서 αc(s)는 s에 대한 정규화된 절단 체적이다.
• 이전 반복에서 구한 함수 값과 도함수 값을 재사용하여 수렴 속도를 높이는 연속 입방 스퍼블라인 보간 기반의 두 점 반복 근사 방법을 적용한다.
• 간격의 고정이 필요 없으며, 절단 체적의 기하 매개변수화가 필요 없으며, 기존 표준 VOF 방법에서 이미 계산된 체적 분율과 셀 기하 구조만을 기반으로 한다.
• VOF에서 절단 체적의 성질로 인해 일반적으로 발생하는 간격 경계(smin 및 smax)에서 도함수의 감소 현상에 대응할 수 있도록 설계되어 있다.
• 기초 셀 기하 구조나 교차 알고리즘에 종속되지 않아, 어떤 비정렬 메쉬나 셀 모델과도 호환된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0 또는 1에 가까운 체적 분율에서도 높은 정확도와 효율성을 유지할 수 있는 단순한 반복적 인터페이스 위치 결정 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ2 CCS 알고리즘이 뉴턴의 방법, 브렌트의 방법, CIBRAVE와 같은 기존 방법들보다 수렴 속도와 견고성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 복잡한 기하 매개변수화 없이도 절단 체적 연산의 횟수를 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ4 이미 솔버에 존재하는 데이터만을 사용하여 기존 기하 VOF 코드에 최소한의 수정으로 구현할 수 있는가?
• RQ5 기하 매개변수화가 없음으로써 계산 비용이 크게 감소하고 캐시 효율성이 향상되는가?

주요 결과

• CCS 알고리즘은 체적 분율이 10−9 또는 1−10−9에 가까운 극단적인 경우에도 평균 2회 이내의 반복만으로 10−12 이내의 정밀도로 수렴한다.
• 수렴 속도와 견고성 측면에서 뉴턴의 방법, 브렌트의 방법, 안정화된 시컨트-이분법 방법보다 뛰어나다.
• 복잡한 기하 매개변수화 없이도 CIBRAVE와 같은 최고 성능을 보이는 방법과 평균 절단 체적 연산 횟수에서 동등한 성능을 달성한다.
• 계산적으로 효율적이며 높은 이식성과 함께, 기존 셀 데이터 구조나 메쉬 연결 정보를 수정할 필요가 없다.
• CPU 시간 분포 분석 결과, 대부분의 비용이 절단 체적 연산에서 기인하므로, CCS를 통해 절단 횟수를 줄임으로써 뚜렷한 성능 향상이 가능하다.
• 셀의 법선이 면의 법선과 일치하는 경우(일반적으로 많은 기존 방법이 실패하는 경우)에도 견고하게 동작하며, 알고리즘 내 특수 처리를 통해 이를 해결한다.