[논문 리뷰] K-theory and 0-cycles on schemes

Rahul Gupta, Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특이성과 모듈러스 구조를 가진 스킴에서 0-사이클에 대한 블로흐 공식을 증명함으로써, 레빈-바일의 0-사이클에 대한 찰드 군과 밀너 K-이론 층의 니스네비히 코homology 사이의 동형사상 수립. 아대수적으로 닫힌 체 위에서 극한 스킴이거나 차원 1에서 정칙인 프로젝티브 스킴인 경우, K-이론으로의 사이클 클래스 사상의 핵이 유한한 지수를 가짐을 보이며, 고전적 블로흐-퀴렌 이론을 특이성 및 상대적 설정으로 확장.

ABSTRACT

We prove Bloch's formula for 0-cycles on affine schemes over algebraically closed fields. We prove this formula also for projective schemes over algebraically closed fields which are regular in codimension one. Several applications, including Bloch's formula for 0-cycles with modulus, are derived.

연구 동기 및 목표

• 원래 매끄러운 스킴에서만 유효한 블로흐 공식을 특이성 스킴과 모듈러스가 있는 스킴로 확장하기.
• 특이성 및 모듈러스가 있는 스킴에서 레빈-바일의 0-사이클 찰드 군과 밀너 K-이론 층의 니스네비히 코homology 사이의 블로흐-퀴렌 유형의 동형사상 수립.
• 특이성 스킴에서 0-사이클에서 대수적 K-이론으로의 사이클 클래스 사상의 핵이 유한 지수의 토르션임을 분석.
• 카토가 특이성 스킴로의 블로흐 공식 일반화의 타당성을 해결.
• 모듈러스가 있는 0-사이클에 대한 K-이론적 해석을 제공하며, 특정 경우에 상대 K-이론과 에탈 기본군과 연결.

제안 방법

• 레빈-바일의 0-사이클 찰드 군에서 밀너 K-이론 층의 니스네비히 코homology로의 표준적 전성 사상 수립.
• 니스네비히 위상과 층 이론적 기법을 사용하여 특이성 스킴에서 $\mathcal{K}^M_{d,X}$ 층 정의 및 분석.
• 니스네비히 위상에서의 특이점 해소 및 순수성 정리 적용으로 문제를 아핀 및 프로젝티브 경우로 환원.
• 오일러 계급 군 이론과 상대 K-이론을 활용하여 사이클 클래스 사상의 핵 분석.
• 완전체 위에서 기저 변경 및 극한 추론 기법을 사용해 알지브레일로 닫힌 체에서의 결과를 일반 완전체로 확장.
• 기존의 니스네비히 및 자리스키 코homology 간 $K$-이론 층의 동형사상과 0-사이클 맥락에서 $K$-이론과 밀너 $K$-이론 간 비교를 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카토의 블로흐 공식 일반화—밀너 K-이론과 니스네비히 코homology를 사용—특이성 스킴로 확장 가능한가?
• RQ2 블로흐 공식은 매끄러운 스킴에서의 모듈러스가 있는 0-사이클로 일반화 가능한가?
• RQ3 특이성 스킴에서 0-사이클에서 대수적 K-이론으로의 사이클 클래스 사상의 핵의 구조는 무엇인가?
• RQ4 아핀 또는 프로젝티브 스킴에서 차원 1에서 정칙인 경우에 대해 0-사이클에 대한 블로흐-퀴렌 동형사상이 존재하는가?
• RQ5 유한체 위의 표면에서, 에탈 기본군은 모듈러스가 있는 0-사이클 찰드 군과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 알지브레일로 닫힌 체 위에서 순수 차원 $d$를 가진 균일한 축약 가능한 스킴 $X$에 대해, 표준적 전성 사상 $\rho_X: \mathrm{CH}^{LW}_0(X) \twoheadrightarrow H^d_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{d,X})$ 가 존재하며, $X$가 아핀이거나 프로젝티브이고 차원 1에서 정칙인 경우 동형사상이다.
• 완전체 위의 아핀 표면에 대해, 사상 $\rho_X: \mathrm{CH}_0(X) \xrightarrow{\cong} H^2_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{2,X})$ 는 동형사상이다.
• 알지브레일로 닫힌 체 위에서 차원 $d$를 가진 매끄러운 축약 가능한 스킴 $X$와 그에 대한 인피니티브 딜레이터 $D$에 대해, 사이클 클래스 사상 $\rho_{X|D}: \mathrm{CH}_0(X|D) \xrightarrow{\cong} H^d_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{d,(X,D)})$ 는 $X$가 아핀이거나 $X$가 프로젝티브이고 $D$가 인피니티브인 경우 동형사상이다.
• 완전체 위에서 차원 $d$인 매끄러운 아핀 스킴 $S_X$에 대해, 사이클 클래스 사상 $\lambda_{S_X}: \mathrm{CH}_0(S_X) \to K_0(S_X)$ 의 핵은 지수 $(d-1)!$ 의 토르션이다.
• 동일한 조건 하에서 상대 사이클 클래스 사상 $\tilde{\lambda}_{X|D}: \mathrm{CH}_0(X|D) \to K_0(S_X, X_+)$ 의 핵 역시 지수 $(d-1)!$ 의 토르션이다.
• 완전체 위의 매끄러운 아핀 표면에 대해, $D$가 인피니티브임을 가정하지 않더라도, 등식 $\mathrm{CH}_0(X|D) \xrightarrow{\cong} H^2_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{2,(X,D)})$ 가 성립한다.