[논문 리뷰] $k$-Uniform states and quantum information masking

Fei Shi, Mao-Sheng Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 코드, 직교 배열, 대수기하 코드를 사용하여 $k$-균일 양자 상태의 일반적 구성법을 제시하며, $d \geq 4k-2$ (소수 거듭제곱) 및 $N \geq 2k$ 인 경우, 그리고 $2k \leq N \leq d+1$ 인 경우 $d \geq 2k-1$ 인 경우에 $k$-균일 상태의 존재를 증명한다. 또한 $k$-균일 양자 정보 마스킹을 도입하여, $k$-균일 상태와 양자 오류 수정 코드가 임의의 $k$ 부분계에서 정보를 숨기는 강력한 마스킹 프로토콜을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A pure state of $N$ parties with local dimension $d$ is called a $k$-uniform state if all the reductions to $k$ parties are maximally mixed. Based on the connections among $k$-uniform states, orthogonal arrays and linear codes, we give general constructions for $k$-uniform states. We show that when $d\geq 4k-2$ (resp. $d\geq 2k-1$) is a prime power, there exists a $k$-uniform state for any $N\geq 2k$ (resp. $2k\leq N\leq d+1$). Specially, we give the existence of $4,5$-uniform states for almost every $N$-qudits. Further, we generalize the concept of quantum information masking in bipartite systems given by [Modi \emph{et al.} {Phys. Rev. Lett. extbf{120}, 230501 (2018)}] to $k$-uniform quantum information masking in multipartite systems, and we show that $k$-uniform states and quantum error-correcting codes can be used for $k$-uniform quantum information masking.

연구 동기 및 목표

• 직교 배열과 선형 코드 간의 연관성을 활용하여 $k \geq 4$ 인 $k$-균일 상태의 일반적 구성법을 수립한다.
• 다중 입자 큐디트 시스템에서 $k \geq 4$ 인 경우에 대해 오랫동안 미해결된 $k$-균일 상태의 존재 조건 문제를 해결한다.
• 양자 정보 마스킹을 다중 입자 시스템에서 $k$-균일 마스킹으로 일반화하여, 정보가 임의의 $k$ 개 부분계에서 숨겨지도록 보장한다.
• $k$-균일 상태와 양자 오류 수정 코드가 강력한 마스킹 프로토콜을 구현하는 데 사용될 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 유한 체 위의 선형 코드를 통해 $k$-균일 상태와 직교 배열(OA) 간의 등가성을 활용하여 상태를 구성한다.
• 곡선의 유리점 수가 많고 계수 제약 조건을 만족하는 경우, 소수 거듭제곱인 $d$ 에 대해 대수기하 코드를 적용하여 $k$-균일 상태를 구성한다.
• 선형 코드의 쌍대성과 최소 거리 성질을 이용하여 모든 $k$-편재 감소가 최대 혼합 상태가 되도록 보장한다.
• 레마 15를 활용하여 기저 상태가 정규직교일 경우 상태의 슈미트 분해가 최대 혼합 감소 밀도 행렬을 유도함을 검증한다.
• 레마 16을 적용하여 $k$-균일 상태와 양자 오류 수정 코드(QECC)를 연결하며, $k$-균일 공간이 $((N,K,k+1))_d$ QECC와 대응됨을 보여준다.
• 이론적 경계(예: 레인스 경계)와 구체적 구성법(예: 자기쌍대 코드, AME 표)을 조합하여 $N$ 과 $d$ 전역에서 존재성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 차원이 $d$ 인 $N$ 큐디트 시스템에서 $k \geq 4$ 인 경우, 어떤 조건에서 $k$-균일 상태가 존재하는가?
• RQ2 $k$-균일 상태는 선형 코드와 직교 배열을 통해 체계적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 양자 정보 마스킹은 다중 입자 시스템에서 임의의 $k$ 개 부분계에서 정보가 숨겨지는 방식으로 $k$-균일 마스킹으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 $k$-균일 상태와 양자 오류 수정 코드 사이의 관계는 강력한 마스킹 프로토콜을 가능하게 하는가?

주요 결과

• $d \geq 4k-2$ 이고 $d$ 가 소수 거듭제곱일 경우, 모든 $N \geq 2k$ 에 대해 $k$-균일 상태가 존재함을 보여주며, 넓은 존재 조건을 제공한다.
• $d \geq 2k-1$ 이고 $d$ 가 소수 거듭제곱일 경우, $2k \leq N \leq d+1$ 에서 $k$-균일 상태가 존재함을 보여주며, 기존의 존재 범위를 확장한다.
• 논문은 $d$ 가 소수 거듭제곱일 경우 거의 모든 $N$-큐디트 시스템에서 $4$- 및 $5$-균일 상태의 존재를 증명한다.
• 대수기하 코드를 사용하여 $d \geq 18$ 이고 소수 거듭제곱이 아니며 $N \geq 18$ 인 경우에 대해 $5$-균일 상태의 명시적 구성법을 제시한다.
• 쌍대성과 코드 연결을 활용하여 모든 $d \geq 2$ 와 $N \geq 18$ 에 대해 $(\mathbb{C}^d)^{\otimes N}$ 에서 $5$-균일 상태의 존재를 확인한다.
• 논문은 $k$-균일 상태와 $((N,K,k+1))_d$ 양자 오류 수정 코드가 동치임을 확립하여, 한 큐디트 상태의 $k$-균일 마스킹을 가능하게 한다.