[논문 리뷰] Katz type p-adic L-functions for primes p non-split in the CM field

Fabrizio Andreatta, Adrian Iovita|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 p가 CM 체 K에서 분할되지 않은 경우, 즉 p가 K에서 분리되거나 분열하는 경우에도, 타원 모듈라 형식과 아이ゼ인슈타인 급수에 대해 케츠 유형의 p진 L함수를 구성한다. 이는 이전 연구에서 제한된 분할된 p에만 적용된 바를 확장한 것이다. CM 작용을 통한 벡터 번들의 구조와 p진 반복된 가우스-마인 연결을 이용하여, 특수값을 보간하는 p진 L함수를 정의하고, 비분할 케이스에서 p진 그로스-자지에르 및 크로네커 한계 공식을 증명한다.

ABSTRACT

For every triple F,K,p where F is a classical elliptic eigenform, K is a quadratic imaginary field and p> 3 is a prime integer which is not split in K, we attach a p-adic L function which interpolates the algebraic parts of the special values of the complex L-functions of F twisted by certain algebraic Hecke characters of K. This construction extends a classical construction of N. Katz, for F an Eisenstein series and of Bertolini-Darmon-Prasana, for F a cuspform, when p is split in K. Moreover we prove a Kronecker limit formula, respectively p-adic Gross-Zagier formulae for our newly defined p-adic L-functions.

연구 동기 및 목표

• CM 체 K에서 소수 p가 분할되지 않은 경우, 즉 p가 K에서 분리되거나 분열하는 경우에도 고전적 케츠 p진 L함수의 구성 방식을 확장하는 것.
• p-거듭제곱의 도수를 가진 편의 L함수의 특수값을 보간하는 일변수 및 이변수 p진 L함수를 모듈라 형식과 아이제인슈타인 급수에 대해 정의하는 것.
• 비분할 설정에서 이러한 새로운 p진 L함수에 대해 p진 그로스-자지에르 및 크로네커 한계 공식을 확립하는 것.
• 분리되거나 분열하는 경우 단위근 분해가 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해, 벡터 번들의 위상에 대한 CM 작용을 이용하여 호지 필터링의 분해를 정의하는 것.
• 일반적인 설정에서의 p진 보간 방법을 일반화하기 위해, 가우스-마인 연결과 p-제거 연산자를 이용한 p진 반복 기법을 비정상적인 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• p진 반복된 가우스-마인 연결 $\nabla_k$를 이용하여, 모듈라 곡선 $\mathcal{X}_1(N)_{b(p,r)}$ 위에 p진 모듈라 형식의 층 $\mathbb{W}_k$를 정의한다.
• 모듈라 형식 $g$에 대해 p진 반복 연결 $\nabla^\nu(g)$를 구성하며, 무게 제약 조건과 계수의 p진 수렴성을 통해 수렴성을 확보한다.
• CM 점에서 $\mathbb{W}_{k+2\nu}$의 특수화에 대해 $1 + p\mathcal{O}_c$의 CM 작용을 이용하여 호지 필터링의 분해 $\Psi_{x_0}$를 정의하며, 이는 단위근 분해를 대체한다.
• Hecke 특성 $\chi^{-1}$에 의해 가중치가 주어진 CM 점 $\mathfrak{a} \ast x_0$에서 $\nabla^\nu(F^{[p]})$의 평가를 통해 p진 L함수를 정의하고, 표준 미분형식 $\Omega_{\rm can}$과 쌍으로 묶는다.
• 비정상적인 형식을 다루기 위해 p-제거 연산자를 적용하여, 정상적인 궤도 분해가 없는 상황에서의 p진 반복의 수렴성을 확보한다.
• 보간 성질을 증명하기 위해, $p \geq 5$ 이고 $n \geq 2$ 일 때, 도수 $p^n$인 특성 $\chi$에 대해 p진 L함수가 $L(F, \chi, 0)$의 대수적 부분과 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p가 CM 체 K에서 분리되거나 분열하는 경우, $F$가 모듈라 형식 또는 아이제인슈타인 급수이고 $\chi$가 K의 헤크 특성일 때, $L(F, \chi, 0)$의 대수적 부분을 보간하는 p진 L함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 단위근 분해가 이용 불가능한 비분할 케이스로 확장하여, 특수값의 고전적 보간을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 비분할 케이스에서 이러한 새로운 p진 L함수에 대해 p진 그로스-자지에르 공식은 어떻게 되는가?
• RQ4 분리되거나 분열하는 설정에서 p진 L함수에 대해 크로네커 한계 공식을 확립할 수 있는가?
• RQ5 가우스-마인 연결과 벡터 번들의 구조를 어떻게 활용하여, 정상성 또는 단위근 분해에 의존하지 않고 p진 L함수를 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 $p \geq 5$ 이고 $n \geq 2$ 일 때, 도수 $p^n$인 특성 $\chi$에 대해 $L(F, \chi, 0)$의 대수적 부분을 보간하는 일변수 및 이변수 p진 L함수를 모듈라 형식과 아이제인슈타인 급수에 대해 구성한다.
• p가 K에서 분리되거나 분열하는 경우, p진 L함수는 $1 + p\mathcal{O}_c$의 CM 작용에 의해 유도된 분해 $\Psi_{x_0}$를 이용하여 CM 점에서 $\nabla^\nu(F^{[p]})$의 평가를 통해 정의된다.
• p진 L함수는 보간 성질을 만족한다: $L_p(F, \chi^{-1}) = \sum_{\mathfrak{a} \in \operatorname{Pic}(\mathcal{O}_c)} \chi^{-1}(\mathfrak{a}) \cdot \Psi_{\mathfrak{a} \ast x_0}(\nabla^\nu(F^{[p]}))|_{\mathfrak{a} \ast x_0}(\mathfrak{a} \ast \Omega_{\rm can})$.
• 새로운 p진 L함수에 대해 p진 그로스-자지에르 공식이 확립되었으며, 이는 비분할 케이스에서 p진 L함수의 도함수와 히그너 점의 높이 사이의 관계를 나타낸다.
• p진 L함수에 대해 크로네커 한계 공식이 증명되었으며, 이는 p진 L함수의 상수항이 p진 로그 함수로 표현된 CM 점과 관련되어 있음을 보여준다.
• 단위근 분해를 피하기 위해, CM 타원곡선의 자기사상에 대한 벡터 번들의 구조의 함의성에 기반하여, 분리 및 분열 케이스에서의 방법을 가능하게 하였다.