[논문 리뷰] Kawaguchi-Silverman conjecture for certain surjective endomorphisms

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 특이점이 있는 경우를 포함하여 모든 사영 표면의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측(KSC)을 증명하며, 특히 정규화 가능하고 int-amplified 동형사상이 존재하는 융합적이고 사영적인 3차원 다양체에 대해 KSC를 확립한다. 이를 위해 등변 최소 모형 프로그램, 반표준 분자 효과성, 토릭 쌍 특성화를 활용한다.

ABSTRACT

We prove the Kawaguchi-Silverman conjecture (KSC), about the equality of arithmetic degree and dynamical degree, for every surjective endomorphism of any (possibly singular) projective surface. In high dimensions, we show that KSC holds for every surjective endomorphism of any $\mathbb{Q}$-factorial Kawamata log terminal projective variety admitting an int-amplified endomorphism, provided that KSC holds for any surjective endomorphism with the ramification divisor being totally invariant and irreducible. In particular, we show that KSC holds for every surjective endomorphism of any rationally connected smooth projective threefold admitting an int-amplified endomorphism. The main ingredients are the equivariant minimal model program, the effectiveness of the anti-canonical divisor and a characterization of toric pairs.

연구 동기 및 목표

• 모든 (특이점이 있는 경우를 포함한) 사영 표면의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측(KSC)을 확립한다.
• 특히 융합적이고 정규적인 3차원 사영 표면에 대해 int-amplified 동형사상이 존재할 경우 KSC를 고차원 다양체로 확장한다.
• 일반적인 고차원 KSC 문제를 잔여 분해가 완전히 불변이고 기약인 경우로 축소한다.
• 토닉 기하학과 등변 최소 모형 프로그램을 이용해 int-amplified 동형사상이 존재하는 다양체의 구조를 특성화한다.
• 이러한 동형사상 하에서 궤도가 Zariski 밀도를 가지는 모든 점에 대해 산술 차수와 동역학 차수가 일치함을 확인한다.

제안 방법

• 특이점이 존재하더라도, 동형사상의 반복 후에 $f$-등변 최소 모형 프로그램(MMP)을 적용한다.
• 표현 $f^*$가 $\operatorname{NS}(X) \otimes \mathbb{C}$ 위에서 스펙트럴 반경이 동역학 차수 $\delta_f$ 와 일치하고, $\alpha_f(x)$ 가 $\delta_f$ 이하로 유계임을 이용한다.
• 등변 MMP를 적용하여 문제를 유한 개의 모델 사례로 축소하며, 특히 패러미터화된 Fano 수축과 곱형태의 구조에 초점을 맞춘다.
• 반표준 분자 $-K_X$ 와 반-Kodaira 피브리이션의 구조를 활용하여 동형사상 하에서 다양체의 기하학을 제어한다.
• 큰 토릭군의 작용을 통해 토릭 쌍을 특성화하고, 이와 같이 완전히 불변인 잔여 분해를 갖는 특정 다양체가 토릭임을 보인다.
• int-amplified 동형사상의 존재를 통해 $f^*$ 가 $\operatorname{NS}_{\mathbb{Q}}(X)$ 위에서 모든 고유값의 절댓값이 1보다 크다는 것을 보장하여, $f$ 의 양의 거듭제곱을 통한 귀납적 축소를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이점이 있는 경우를 포함하여 모든 사영 표면의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측이 성립하는가?
• RQ2 int-amplified 동형사상이 존재할 경우 고차원 다양체에 대해 KSC가 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ3 잔여 분해가 완전히 불변이고 기약인 경우로 KSC를 축소할 수 있는가?
• RQ4 int-amplified 동형사상이 존재하고 Case TIR 조건을 만족할 경우 어떤 기하학적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ5 완전히 불변인 잔여 분해를 갖는 다양체에 대해 int-amplified 동형사상의 작용으로부터 토닉 구조는 어느 정도로 나타나는가?

주요 결과

• 모든 (특이점이 있는 경우를 포함한) 사영 표면의 전사 동형사상에 대해 Kawaguchi-Silverman 추측이 성립한다.
• 하나의 int-amplified 동형사상이 존재하는 $\mathbb{Q}$-근본적이고 Kawamata 로그 루멘 사영 다양체에 대해, KSC는 잔여 분해가 완전히 불변이고 기약인 동형사상에 대해 성립할 경우에 한하여 성립한다.
• int-amplified 동형사상이 존재하는 모든 융합적이고 정규적인 사영 3차원 표면의 전사 동형사상에 대해 KSC가 확인된다.
• 등변 최소 모형 프로그램에 의해, $f$ 가 int-amplified일 경우 $\operatorname{N}^1(X)$ 위에서 $f^*$ 의 고유값은 모두 1보다 큰 양의 정수값을 갖는다.
• 만약 $f$ 가 int-amplified 이고 잔여 분해가 완전히 불변이며 기약이라면, $X$ 는 토릭 쌍이며 $f$ 는 토닉 구조를 유지한다.
• 정리 1.5의 조건을 만족하는 다양체에 대해 반표준 분자 $-K_X$ 는 효과적이다. 이는 KSC 증명에 필요한 기하학적 제어를 지원한다.