[논문 리뷰] Kinetic limit for a chain of harmonic oscillators with a point Langevin thermostat

Tomasz Komorowski, Stefano Olla|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 01.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 26인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 한점 랑주비안 열기구를 갖춘 1차원 조화 진동자 체인의 운동학적 한계를 확립하며, 격자 진동자의 에너지 위그너 분포가 열기구 위치에서 경계 조건을 갖는 선형 운동학 방정식의 해로 수렴함을 보여준다. 경계 조건은 진동자의 반사, 투과, 흡수를 기술하며, 분산 관계와 열기구 강도로부터 유도된 명시적 확률을 포함하여, 에너지 및 운동량을 보존하는 스튜디오적 산란을 포함한 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider an infinite chain of coupled harmonic oscillators with a Langevin thermostat attached at the origin and energy, momentum and volume conserving noise that models the collisions between atoms. The noise is rarefied in the limit, {that corresponds to the hypothesis} that in the macroscopic unit time only a finite number of collisions takes place (Boltzmann-Grad limit). We prove that, after the hyperbolic space-time rescaling, the Wigner distribution, describing the energy density of phonons in space-frequency domain, converges to a positive energy density function $W(t, y, k)$ that evolves according to a linear kinetic equation, with the interface condition at $y=0$ that corresponds to reflection, transmission and absorption of phonons. The paper extends the results of [3], where a thermostatted harmonic chain (with no inter-particle scattering) has been considered.

연구 동기 및 목표

• 보존적인 스튜디오적 운동량 교환과 단일점 랑주비안 열기구를 갖춘 조화 체인에서의 매크로스코픽 에너지 운반을 분석하기 위해.
• 초구형 공간-시간 스케일링 하에서 위그너 분포의 유체역학적 극한을 유도하여, 보다 흩어짐과 경계 열기구 효과를 모두 고려하기 위해.
• 극한에서 에너지 밀도가 열기구 위치에서 비자명한 경계 조건을 갖는 선형 운동학 방정식에 따라 진화함을 확립하기 위해.
• 이전 결과([13] 등)를 확장하기 위해, 에너지 및 운동량을 보존하는 보존적인 스튜디오적 노이즈를 도입함으로써, 입자 간 산란을 모델링하기 위해.
• 진동자의 파장 수 k에 대한 반사, 투과, 흡수 확률의 출현을 엄밀히 정당화하기 위해, 시스템의 분산 및 열기구 강도로부터 유도된 함수로써의 확률을 도출하기 위해.

제안 방법

• 공간과 시간을 스케일링하기 위해 작은 매개변수 ǫ을 도입하여, 매크로스코픽 단위 시간당 유한한 수의 충돌만 발생하는 운동학적 한계를 모델링하기 위해.
• 시간에 대해 독립적인 증분을 갖는 연속적인 확산 노이즈를 사용하여 보다 흩어짐에서 운동량 교환을 모델링하며, 총 에너지와 운동량을 보존하기 위해.
• 초구형 공간-시간 스케일링(x → ǫx, t → ǫt)을 적용하여 위그너 분포 W(t, y, k)의 매크로스코픽 극한을 도출하기 위해.
• 라운드-플라너 공식을 사용하여 열기구가 있는 스토크스파동 방정식의 해를 표현함으로써, 노이즈의 펌프터베이션 처리를 가능하게 하기 위해.
• 라플라스 변환과 스펙트럼 분석을 활용하여, 보다 흩어짐의 노이즈의 독립적인 증분을 이용하여, 보다 흩어짐의 노이즈를 외부 항으로 간주함으로써, 위그너 분포의 수렴을 선형 운동학 방정식과 경계 조건을 갖는 해로 증명하기 위해.
• 보다 흩어짐의 노이즈의 독립적인 증분을 활용하여, 이를 외부 항으로 간주함으로써, 이토 보정 항의 명시적 계산과 도미네이팅 수렴을 통한 수렴을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보존적인 스튜디오적 노이즈를 갖는 조화 체인에서 단일점 랑주비안 열기구의 존재가 매크로스코픽 에너지 운반에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 운동학적 한계에서 열기구 위치에서 진동자의 반사, 투과, 흡수를 지배하는 경계 조건은 무엇인가?
• RQ3 반사, 투과, 흡수의 확률은 진동자의 진동수 k와 열기구 강도 γ₁에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 보존적인 스튜디오적 산란과 경계 열기구가 동시에 존재할 때 운동학적 한계를 엄밀히 유도할 수 있는가? 이는 이전 결과(보존적인 노이즈 없이)를 확장하는가?
• RQ5 보다 흩어짐의 노이즈가 시간에 대해 독립적인 증분을 갖는 것이, 외부 항으로 간주되는 펌프터베이션 방법을 통한 수렴 증명에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ǫ → 0 극한에서 위그너 분포 W(t, y, k)는 y = 0에서 경계 조건을 갖는 선형 운동학 방정식의 해로 수렴한다.
• 경계 조건 (1.3)은 열기구 위치에서 진동자의 반사, 투과, 흡수를 기술하며, 분산 관계 ω(k)와 열기구 강도 γ₁에 따라 의존하는 확률 p₊(k), p₋(k), ı(k)로 구성된다.
• 확률은 정규화되어 있으며, p₊(k) + p₋(k) + ı(k) = 1 이다. 이는 W(t, y, k) = T 가 열적 평형에 해당하는 정적 해임을 보장한다.
• 보다 흩어짐의 산란 커널 R(k, k′)는 작은 |k|에 대해 R(k) ∼ |k|² 를 만족하며, 이는 조화 체인의 장파장 행동과 일치한다.
• 해의 두엄-플라너 표현을 활용하여, 보다 흩어짐의 노이즈의 독립적인 증분을 이용하여 이를 외부 항으로 간주함으로써 수렴을 확립하였다.
• 열기구 온도 T > 0 이어도 극한이 유지되며, 생성률 ı(k)T 는 진동자의 주입을 설명하며, 수렴은 시간과 공간에 대해 균일하다.