[논문 리뷰] Knotted 3-balls in S^4

Ryan Budney, David Gabai|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 4차원 구면 $S^4$와 $S^1 \times B^3$ 내에 무한히 많은 서로 동치가 아닌 뭉친 3차원 볼이 존재함을 입증하며, $S^4$에서 뭉친 뭉치 없는 3차원 볼이 위상동치에 대해 유일하지 않음을 보여준다. 바벨 미분구조, 식재, 비틀림과 같은 새로운 기법을 사용하여, 몫군 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 고정 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 고정 } \partial))$ 내에 무한히 많은 선형 독립 원소의 무리를 구성함으로써, 뭉친 3차원 볼의 공간이 무한 랭크임을 증명하고, 이러한 결과를 고차원 다각형으로 확장한다.

ABSTRACT

The unknot U in S^4 has non-unique smooth spanning 3-balls up to isotopy fixing U. Equivalently there are properly embedded non-separating 3-balls in S^1xB^3 not properly isotopic to 1xB^3. More generally there exist non-separating 3-spheres in S^1xS^3 not isotopic to 1xS^3 and non trivial elements of π_0 Diff_0(S^1xS^3). Along the way we introduce barbell diffeomorphisms, implantations and twistings to construct and modify diffeomorphisms homotopic to the identity. We also introduce a 2-parameter calculus of embeddings of the interval into 4-manifolds and introduce a framed cobordism method as well as a direct method for showing that certain 2-parameter families are homotopically non trivial and diffeomorphisms are isotopically nontrivial. Extensions to higher dimensional manifolds are obtained.

연구 동기 및 목표

• 적절하게 내장된 $S^4$와 $S^1 \times B^3$ 내의 3차원 볼의 위상동치 분류를 조사하고, 이들이 뭉친 뭉치나 표준 2차원 구면을 감싸는지 확인한다.
• 기존의 3차원 볼이 $S^4$ 내에서 뭉친 뭇치 없는 3차원 볼이 아니라는 점을 입증하며, 저차원 직관과는 반대되는 결과를 도출한다.
• 새로운 기하학적 및 호모토피 기법을 사용하여 $S^1 \times B^3$와 $S^4$ 내에 무한히 많은 선형 독립 뭉친 3차원 볼의 무리를 구성한다.
• 이러한 구성 기법을 고차원 다각형으로 확장하여, $n \geq 3$에 대해 $\pi_{n-3}\mathrm{Diff}(S^1 \times B^n \text{ 고정 } \partial)$ 내에 비자명한 위상동치류가 존재함을 보인다.
• 표면 $S^1 \times B^3$ 내의 감소하는 3차원 볼의 위상동치류 군이 무한하고 아벨 군임을 보이며, 경계 연결 합과 유사한 연결 연산을 통해 군의 구조를 정의한다.

제안 방법

• 항등사상과 동치이지만 위상동치에선 동치가 아닌 미분구조를 구성하고 수정하기 위해 바벨 미분구조, 식재, 비틀림을 도입한다.
• 4차원 다각형에 대한 구간의 임베딩을 분석하고 구성하기 위해 2매개변수 임베딩의 미적분을 사용한다.
• 틀린 코바디즘 방법과 직접적 방법을 적용하여, 특정 2매개변수 임베딩의 무리를 호모토피적으로 비자명하고, 위상동치에 대해 비자명한 미분구조를 유도함을 보인다.
• 경계 연결 합과 유사한 연결 연산을 통해 뭉친 3차원 볼의 위상동치류에 군의 구조를 정의한다.
• 항등사상과 동치이지만 위상동치에선 동치가 아닌 $S^1 \times B^3$의 미분구조를 올리기 위해, 직접적인 대표 원소를 구성한다.
• $S^4$ 내 뭉친 뭇치의 외부가 $S^1 \times B^3$와 미분구조적으로 동치임을 이용하여, $S^4$와 $S^1 \times B^3$ 간에 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $S^4$ 내에 뭉친 뭇치를 감싸는 적절하게 내장된 3차원 볼의 위상동치류가 무한히 많은가?
• RQ2 항등사상과 동치이지만 위상동치에선 동치가 아닌 $S^1 \times B^3$의 미분구조가 서로 동치가 아닌 뭉친 3차원 볼을 유도할 수 있는가?
• RQ3 $S^1 \times B^3$ 내 감소하는 3차원 볼의 위상동치류 군은 무한한가? 만약 그렇다면, 그 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ4 바벨 미분구조와 비틀림 기법을 고차원 다각형의 미분구조군의 호모토피군에 대해 일반화하여 비자명한 원소를 구성할 수 있는가?
• RQ5 $S^1 \times S^3$ 내 뭉친 3차원 구면의 위상동치류는 무한군을 이룬다. 이들은 $\mathrm{Diff}_0(S^1 \times S^3)$ 미분구조군과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 고정 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 고정 } \partial))$ 내에 무한히 많은 선형 독립 원소의 무리를 구성함으로써, $S^1 \times B^3$ 내 뭉친 3차원 볼의 위상동치류가 무한군임을 증명한다.
• $S^4$ 내에 뭉친 뭇치를 감싸는 서로 동치가 아닌 뭉친 3차원 볼이 무한히 존재하며, 이는 뭉친 3차원 볼이 위상동치에 대해 유일하지 않음을 보여준다.
• $S^1 \times B^3$ 내 감소하는 3차원 볼의 위상동치류 군은 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 고정 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 고정 } \partial))$와 동형이며, 이 군은 무한하고 아벨 군이다.
• 이러한 구성 기법을 확장하여, 모든 $n \geq 3$에 대해 $\pi_{n-3}\mathrm{Diff}(S^1 \times B^n \text{ 고정 } \partial)$ 내에 무한한 부분군이 존재함을 보여, 고차원으로 일반화한다.
• $\mathrm{Diff}_0(S^1 \times S^3)$ 내에서 $\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 고정 } \partial)$에 대해 비자명한 원소가 존재하므로, $S^1 \times S^3$ 내에서 서로 동치가 아닌 감소하는 3차원 구면이 존재함을 시사한다.
• $S^4$ 내에 2차원 구면을 임베딩하는 공간 $\mathrm{Emb}_u(S^2, S^4)$는 선형 임베딩의 부분공간과 동치가 아니며, 이는 뭉친 2차원 구면의 공간 내에 풍부한 구조를 지닌다는 것을 나타낸다.