[논문 리뷰] Krylov complexity of many-body localization: Operator localization in Krylov basis

Fabian Ballar Trigueros, Cheng-Ju Lin|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 09.

Quantum many-body systems참고 문헌 77인용 수 84

한 줄 요약

이 논문은 Krylov 기저 프레임워크를 사용하여 다체 국소화(MBL) 시스템에서 연산자 성장에 대해 연구한다. 여기서 연산자 동역학은 Lanczos 계수를 투과 능력으로 가지는 반무한 체인 위의 단일 입자 투과 문제로 매핑된다. 비록 Lanczos 계수가 점 渐진적으로 에르고딕 시스템과 유사하게 ∼n/ln(n)로 스케일링되지만, MBL 시스템은 짝수-홀수 번갈아가며 나타나는 구조와 효과적인 무작위성으로 인해 국소화된 파동함수와 유한한 Krylov 복잡도를 보이며, 이는 Krylov 공간에서의 연산자 국소화를 시사한다.

ABSTRACT

We study the operator growth problem and its complexity in the many-body localization (MBL) system from the Lanczos algorithm perspective. Using the Krylov basis, the operator growth problem can be viewed as a single-particle hopping problem on a semi-infinite chain with the hopping amplitudes given by the Lanczos coefficients. We find that, in the MBL systems, the Lanczos coefficients scale as $\sim n/\ln(n)$ asymptotically, same as in the ergodic systems, but with an additional even-odd alteration and an effective randomness. We use a simple linear extrapolation scheme as an attempt to extrapolate the Lanczos coefficients to the thermodynamic limit. With the original and extrapolated Lanczos coefficients, we study the properties of the emergent single-particle hopping problem via its spectral function, integrals of motion, Krylov complexity, wavefunction profile and return probability. Our numerical results of the above quantities suggest that the emergent single-particle hopping problem in the MBL system is localized when initialized on the first site. We also study the operator growth in the MBL phenomenological model, whose Lanczos coefficients also have an even-odd alteration, but approach constants asymptotically. The Krylov complexity grows linearly in time in this case.

연구 동기 및 목표

• 다체 국소화(MBL) 시스템에서 Krylov 기저 프레임워크를 사용하여 연산자 성장과 복잡도를 이해하는 것.
• MBL 시스템에서 Lanczos 계수의 행동을 분석하고, 에르고딕 및 통합 가능한 영역와 비교하는 것.
• Krylov 공간에서 발생하는 잠재적 단일 입자 투과 문제의 국소화 또는 비국소화 여부를 조사하는 것.
• MBL 시스템에서 Lanczos 계수의 선형 외삽 가능성을 탐색하여 열역학적 극한에 대한 통찰을 얻는 것.
• 미세구조 MBL 모델과 l-비트 연산자를 갖는 현상학적 MBL 모델 간의 Krylov 복잡도를 비교하는 것.

제안 방법

• 연산자 동역학을 위한 Krylov 기저를 생성하기 위해 Lanczos 알고리즘을 적용하여 문제를 반무한 체인 위의 단일 입자 투과 해밀토니안으로 매핑하는 것.
• 효과적 단일 입자 모델에서 Lanczos 계수를 투과 능력으로 사용하고, 초기 상태를 첫 번째 위치에 국소화하는 것.
• 스펙트럼 함수, 파동함수 프로파일, 귀환 확률, 보존량의 적분을 계산하여 국소화 성질을 탐색하는 것.
• 유도된 단일 입자 파동함수의 평균 위치를 Krylov 복잡도로 정의하여 연산자 확산을 정량화하는 것.
• 열역학적 극한에서의 행동을 추정하기 위해 Lanczos 계수의 선형 외삽을 수행하지만, 알려진 한계를 고려하는 것.
• 미세구조 MBL 모델(무작위 자기장 이징 체인)과 l-비트 전환 연산자를 갖는 현상학적 모델의 결과를 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MBL 시스템에서 Lanczos 계수는 에르고딕 시스템과 동일한 점 渐진적 스케일링을 보이며, 추가로 어떤 구조적 특징이 나타나는가?
• RQ2 MBL 시스템에서 Krylov 기저에 의해 유도된 단일 입자 투과 문제의 초기 상태가 첫 번째 위치에 놓였을 때 국소화되어 있는가?
• RQ3 MBL 시스템에서 Krylov 복잡도는 시간에 따라 어떻게 변화하며, 에르고딕 및 통합 가능한 영역와 비교해 볼 때 어떻게 다른가?
• RQ4 Lanczos 계수의 선형 외삽이 MBL 시스템의 열역학적 극한에 대한 의미 있는 통찰을 제공할 수 있는가?
• RQ5 미세구조 MBL 모델과 현상학적 l-비트 모델 간의 Krylov 복잡도는 어떻게 다른가?

주요 결과

• MBL 시스템에서 Lanczos 계수는 점 渐진적으로 ∼n/ln(n)로 스케일링되며, 이는 에르고딕 영역와 일치하지만, 짝수-홀수 번갈아가며 나타나는 추가적인 구조와 효과적인 무작위성이 존재한다.
• Krylov 기저에서 유도된 단일 입자 파동함수는 초기 상태가 첫 번째 위치에 놓여져 있을 때도 국소화된 상태를 유지하며, 이는 Krylov 공간 내에서의 연산자 국소화를 시사한다.
• MBL 시스템에서 Krylov 복잡도는 시간에 따라 유한하게 유지되며, 이는 에르고딕 시스템에서 예상되는 초다항(지수 또는 스트레칭된 지수) 성장과 대조된다.
• 스펙트럼 함수와 귀환 확률은 국소화의 징후를 보이며, 파동함수의 확산에 대한 증거는 없다.
• 현상학적 l-비트 모델에서는 Lanczos 계수가 일정 수준에 도달하면서 짝수-홀수 번갈아가며 변화하며, Krylov 복잡도는 시간에 따라 선형적으로 증가하고 파동프론트가 전파된다.
• Lanczos 계수의 선형 외삽은 열역학적 극한을 연구하는 데 가능성을 제시하지만, 정확한 열역학적 행동를 기술하기에는 이론이 너무 단순할 수 있다.