[논문 리뷰] L^2-Betti numbers of coamenable quantum groups

David Kyed|ArXiv.org|2007. 04. 12.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 코암면성(compact quantum groups)의 코어프레젠테이션 대수의 아미니티와 코암면성의 등가 조건을 정의하고, 코암면성의 코어프레젠테이션 대수가 아미니티임을 증명함으로써, 추적적 헤르 스테이트를 가진 코암면성 컴팩트 양자군에서 모든 양의 차수에서 $L^2$-베티 수가 0이 됨을 증명한다. 핵심 기여는 룩의 차원 평탄성 정리의 양자 일반화이며, 이는 고전적 아미니티 군에서의 $L^2$-베티 수의 소멸을 양자 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We prove that a compact quantum group is coamenable if and only if its corepresentation ring is amenable. We further propose a Foelner condition for compact quantum groups and prove it to be equivalent to coamenability. Using this Foelner condition, we prove that for a coamenable compact quantum group with tracial Haar state, the enveloping von Neumann algebra is dimension flat over the Hopf algebra of matrix coefficients. This generalizes a theorem of Lueck from the group case to the quantum group case, and provides examples of compact quantum groups with vanishing L^2-Betti numbers.

연구 동기 및 목표

• 이산 군에서의 룩의 차원 평탄성 정리를 컴팩트 양자군으로 일반화하기.
• 코암면성을 등가로 갖는 컴팩트 양자군에 대한 Følner 유형 조건을 정의하고 특성화하기.
• 코암면성 컴팩트 양자군이 추적적 헤르 스테이트를 가진 경우, 모든 양의 차수에서 $L^2$-베티 수가 0이 됨을 확립하기.
• 컴팩트 양자군의 코어프레젠테이션 대수의 아미니티와 그 기저 양자군의 아미니티 사이의 관계를 명확히 하기.
• 크로스곱 생성을 통해 새로운 양자군 예시를 제공하여 $L^2$-베티 수가 자명함을 보이기.

제안 방법

• 히아이와 이즈미의 융합 대수에 대한 Følner 유형 조건을 유한 생성되지 않은 경우로 일반화하여 컴팩트 양자군에 대한 Følner 조건을 도입하기.
• 컴팩트 양자군이 코암면성임과 그 코어프레젠테이션 대수가 아미니티임이 서로 동치임을 증명함으로써, 코암면성과 대수적 아미니티 사이의 다리를 놓기.
• Følner 조건을 사용하여, 행렬 계수의 호프 $*$-대수 $A_0$ 위에서의 포괄 바나흐-폰 노이만 대수 $M$이 차원 평탄함을 보이기.
• 룩의 확장된 머피-폰 노이만 차원 함수를 적용하여 $\dim_M \operatorname{Tor}_p^{A_0}(M, \mathbb{C})$를 통해 $L^2$-베티 수를 계산함으로써 고전적 군의 경우를 일반화하기.
• 코어프레젠테이션 대수의 아미니티를 가진 컴팩트 양자군과 아미니티를 가진 이산 군의 이중 및 코호호모로지 크로스곱을 사용하여 새로운 코암면성 양자군을 생성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코암면성을 특성화하는 컴팩트 양자군에 대한 Følner 유형 조건이 존재하는가?
• RQ2 코암면성 컴팩트 양자군이 그 포괄 바나흐-폰 노이만 대수의 $A_0$ 위에서 차원 평탄함을 유도하는가?
• RQ3 코암면성 컴팩트 양자군의 $L^2$-베티 수가 고전적 아미니티 군의 경우와 마찬가지로 모든 양의 차수에서 0이 되는가?
• RQ4 코어프레젠테이션 대수의 아미니티는 기저 양자군의 코암면성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 크로스곱 생성은 양자군 설정에서 코암면성과 추적적 헤르 스테이트를 유지하는가?

주요 결과

• 코어프레젠테이션 대수가 아미니티임과 코암면성 컴팩트 양자군이 코암면성임이 서로 동치이며, 이는 고전적 군 이론 결과를 양자 설정으로 확장한다.
• 코암면성 컴팩트 양자군에 대한 Følner 유형 조건은 코암면성과 동치이며, 이는 코암면성의 기하학적·해석적 특성화를 제공한다.
• 추적적 헤르 스테이트를 가진 코암면성 컴팩트 양자군의 경우, 포괄 바나흐-폰 노이만 대수 $M$은 호프 대수 $A_0$ 위에서 차원 평탄함을 띤다. 이는 룩의 결과를 군의 경우에서 일반화한 것이다.
• 결과적으로, 모든 $p \geq 1$에 대해 $\dim_M \operatorname{Tor}_p^{A_0}(M, \mathbb{C}) = 0$이 되며, 이는 모든 양의 차수의 $L^2$-베티 수가 0이 됨을 의미한다.
• 코암면성 컴팩트 양자군과 아미니티를 가진 이산 군의 크로스곱은 여전히 코암면성이고 컴팩트하며, 새로운 $L^2$-베티 수가 자명한 양자군의 예를 제공한다.
• 이산 아미니티 군과 코암면성 컴팩트 양자군의 바이크로스드 및 코호모로지 크로스곱 생성은 다시 한 번 컴팩트하고 코암면성인 카크 대수를 만들어내며, 추적적 헤르 스테이트를 유지한다.