[논문 리뷰] L-infinity algebras and their cohomology

Michael Penkava|ArXiv.org|1995. 12. 12.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 9인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Hochschild 및 순환 코hom로의 일반화를 통해 L-무한대 대수에 대한 코homological 프레임워크를 수립하며, 자기 표현에 대한 Lie 대수의 코homology가 L-무한대 대수로의 변형을 분류함을 보여준다. 코계산의 미분가환대수 구조를 부여하기 위해 코계산자 위에 수정된 브라켓을 도입하며, 이는 Gerstenhaber 브라켓과 유사하며, 텐서 및 외적 코대수 간의 이중성과 반전 기능을 사용한다.

ABSTRACT

An associative algebra is nothing but an odd quadratic codifferential on the tensor coalgebra of a vector space, and an A-infinity algebra is simply an arbitrary odd codifferential. Hochschild cohomology classifies the deformations of an associative algebra into an A-infinity algebra, and cyclic cohomology in the presence of an invariant inner product classifies the deformations of the associative algebra into an A-infinity algebra preserving the inner product. Similarly, a graded Lie algebra is simply a special case of an odd codifferential on the exterior coalgebra of a vector space, and an L-infinity algebra is a more general codifferential. In this paper, ordinary and cyclic cohomology of L-infinity algebras is defined, and it is shown that the cohomology of a Lie algebra (with coefficients in the adjoint representation) classifies the deformations of the Lie algebra into an L-infinity algebra. Similarly, the cyclic cohomology of a Lie algebra with an invariant inner product classifies the deformations of the Lie algebra into an L-infinity algebra which preserve the invariant inner product. The exterior coalgebra of a vector space is dual to the symmetric coalgebra of the parity reversion of the space, while the tensor coalgebra of a vector space is dual to the tensor coalgebra of its parity reversion. Using this duality, we introduce a modified bracket in the space of coderivations of the tensor and exterior coalgebras which makes it possible to treat the cohomology of an A-infinity or L-infinity as a differential graded algebra in the same manner in which the Gerstenhaber bracket is used to transform the Hochschild cochains of an associative algebra into a differential graded algebra.

연구 동기 및 목표

• L-무한대 대수를 통한 결합 대수의 변형에 대한 코homological 분류를 Lie 대수로 확장하는 것.
• A-무한대 대수의 Hochschild 및 순환 코homology와 유사하게 L-무한대 대수에 대한 일반 및 순환 코homology를 정의하는 것.
• Lie 대수의 자기 표현에 대한 코homology가 그 대수가 L-무한대 대수로의 변형을 분류함을 확립하는 것.
• 텐서 및 외적 코대수의 코계산자 위에 수정된 브라켓을 도입하여 코homology에 미분가환대수 구조를 제공하는 것.
• 텐서 및 외적 코대수 간의 이중성과 반전 기능을 사용하여 A-무한대 및 L-무한대 대수의 코homological 처리를 통합하는 것.

제안 방법

• 벡터 공간의 텐서 코대수와 그 반전된 쌍대공간의 텐서 코대수 간의 이중성을 사용하여 A-무한대 및 L-무한대 구조를 연결하는 것.
• 텐서 및 외적 코대수 위의 이상 코미스터미널을 적용하여 각각 A-무한대 및 L-무한대 대수를 정의하는 것.
• Gerstenhaber 브라켓을 모방하기 위해 텐서 및 외적 코대수의 코계산자 공간 위에 수정된 브라켓을 도입하는 것.
• 반전된 공간의 대칭 코대수와 외적 코대수 간의 이중성을 활용하여 구조적 동치를 확립하는 것.
• Lie 대수의 자기 표현에 대한 코homology를 통해 L-무한대 대수의 코homology를 정의하는 것.
• 일관된 내적을 갖는 경우 동일한 프레임워크를 순환 코hom로 적용하여 변형 중 내적을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lie 대수의 코homology는 어떻게 L-무한대 대수로의 변형을 분류하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 Hochschild 코homology의 L-무한대 대수로의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 일관된 내적이 존재할 경우, Lie 대수의 L-무한대 대수로의 변형 이론은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 Hochschild 코체인 위의 Gerstenhaber 브라켓과 유사한 L-무한대 대수의 코homology 위에 미분가환대수 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ5 텐서 및 외적 코대수 간의 이중성은 A-무한대 및 L-무한대 대수의 코homological 처리를 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Lie 대수의 자기 표현에 대한 코homology는 그 대수가 L-무한대 대수로의 변형을 분류한다.
• 일관된 내적을 갖는 Lie 대수의 순환 코homology는 내적을 유지하는 변형을 분류한다.
• 텐서 및 외적 코대수의 코계산자 위에 수정된 브라켓이 도입되어 코homology에 미분가환대수 구조를 제공하며, 이는 Gerstenhaber 브라켓과 유사하다.
• 벡터 공간의 외적 코대수는 그 반전된 공간의 대칭 코대수와 이중성을 가지며, 이는 구조적 통합을 가능하게 한다.
• 공간의 텐서 코대수는 그 반전된 쌍대공간의 텐서 코대수와 이중성을 가지며, 이는 프레임워크의 기초 이중성을 제공한다.
• 이 프레임워크는 A-무한대 및 L-무한대 대수를 통해 결합 대수에서 Lie 대수로의 변형에 대한 코homological 분류를 일반화한다.