[논문 리뷰] $L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in (1-\frac{c}{n^{\frac{3}{2}}}, 1)$

Shibing Chen, Yong Huang외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 26.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$에 대해 전역 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식을 확립하며, Kolesnikov와 Milman의 국소 결과를 PDE 기법을 통해 확장한다. 이 기법에는 사전 추정, Schauder 이론, Leray-Schauder 위상수학 이론이 포함된다. 주요 기여는 전역 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식과, $C^\alpha$ 짝수 밀도 조건 하에서 $L_p$-Minkowski 및 로그 미량키 반문 문제에 대한 두 개의 유일성 결과이다.

ABSTRACT

Kolesnikov-Milman [9] established a local $L_p$-Brunn-Minkowski inequality for $p\in(1-c/n^{\frac{3}{2}},1).$ Based on their local uniqueness results for the $L_p$-Minkowski problem, we prove in this paper the (global) $L_p$-Brunn-Minkowski inequality. Two uniqueness results are also obtained: the first one is for the $L_p$-Minkowski problem when $p\in (1-c/n^{\frac{3}{2}}, 1)$ for general measure with even positive $C^α$ density, and the second one is for the Logarithmic Minkowski problem when the density of measure is a small $C^α$ even perturbation of the uniform density.

연구 동기 및 목표

• Kolesnikov와 Milman의 국소 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식을 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$에 대해 전역 버전으로 확장한다.
• 측도가 짝수 양의 $C^\alpha$ 밀도를 가질 때 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$에 대해 $L_p$-Minkowski 문제의 전역 유일성을 확립한다.
• 측도가 균일 측도의 작은 $C^\alpha$ 짝수 편미분일 경우 로그 미량키 반문 문제의 해가 유일한가를 증명한다.
• 국소 유일성 결과가 국소-전역 원리에 따라 $L_p$-Minkowski 문제의 국소 유일성 결과로부터 전역 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식을 이끌어내는가를 보여준다.

제안 방법

• 사전 추정, Schauder 이론, Leray-Schauder 위상수학 이론을 포함한 PDE 기법을 적응하여 국소 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식을 전역 부등식으로 확장한다.
• 작은 $C^2$ 근방 내에서 Kolesnikov와 Milman의 $L_p$-Minkowski 문제에 대한 국소 유일성 결과를 활용하여 위상수학을 통해 전역 해를 구성한다.
• 지지 함수 $h_K$에 대해 Monge-Ampère 방정식 프레임워크를 적용하여, $f$가 콘 부피 측도의 밀도일 때 $\det(\nabla^2 h_K + h_K \delta_{ij}) = \frac{f}{h_K}$ 를 유도한다.
• 단위 구의 작은 편미분에서 $h_L - 1$에 대한 균일 타원형 방정식에 대해 Schauder 추정을 적용하여, $C^{2,\alpha}$ 노름을 제어한다.
• Blaschke의 선택 정리와 콘 부피 측도의 약한 수렴을 이용하여, 비유일성의 경우에 모순을 이끌어낸다.
• Boroczky 등 [1]에서 확립된 바와 같이 $L_p$-Minkowski 부등식과 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식 간의 동치성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점 대칭 볼록체에 대해 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$인 국소 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식을 모든 원점 대칭 볼록체에 대해 전역 부등식으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$이고 측도가 짝수 양의 $C^\alpha$ 밀도를 가질 때 $L_p$-Minkowski 문제의 해가 유일한가?
• RQ3 측도가 균일 측도의 작은 $C^\alpha$ 짝수 편미분일 경우 로그 미량키 반문 문제에 유일한 해가 존재하는가?
• RQ4 국소 유일성 결과가 국소-전역 원리에 따라 $L_p$-Minkowski 문제의 국소 유일성 결과로부터 전역 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식을 이끌어낼 수 있는가?

주요 결과

• $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$에 대해 전역 $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식이 성립하며, 이는 모든 원점 대칭 볼록체 $K, L \in \mathcal{K}_e$에 대해 성립한다. 여기서 $c$는 보편 상수이다.
• $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$일 때, 임의의 짝수 양의 $C^\alpha$ 밀도 $f$에 대해 $L_p$-Minkowski 문제는 $h_K^{1-p} dS_K = f dx$를 만족하는 유일한 해 $K \in \mathcal{K}_e$를 가진다.
• 측도가 균일 측도의 작은 $C^\alpha$ 짝수 편미분일 경우 로그 미량키 반문 문제에 유일한 해가 존재한다.
• $L_p$-Brunn-Minkowski 부등식은 $L_p$-Minkowski 부등식과 동치이며, $p \in (1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$에 대해 둘 다 전역적으로 확립된다.
• 증명은 국소-전역 원리에 의존한다: 만약 어떤 $p$의 이웃에서 국소 유일성 결과가 균일하게 성립한다면, 전역 부등식이 도출된다.
• 작은 구의 편미분에서 해에 대한 균일한 $C^{2,\alpha}$ 추정을 유도하여, 해 공간 내의 정규성과 컴팩트성을 보장한다.