[논문 리뷰] $L^p$-mapping properties for Schrödinger operators in open sets of $\mathbb R ^d$

Tsukasa Iwabuchi, Tokio Matsuyama외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 26.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서 슈뢰딩거 연산자 $H_V = -\Delta + V$에 대한 함수해석학적 연산의 $L^p$-유계성을 확립한다. 여기서 $V$는 Kato 클래스 $K_d(\Omega)$에 속하고, 그 음성 부분에 대한 소규모 조건을 만족한다. 스펙트럼 이론과 열핵의 점별 추정을 이용하여, 모든 $1 \leq p \leq \infty$ 및 $\theta > 0$에 대해 $\varphi(\theta H_V)$가 $L^p(\Omega)$에 대해 일관되게 유계임을 증명한다. 여기서 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R})$는 빠르게 감쇠하는 함수이다. 이는 고전적인 승수 정리 결과를 특이한 잠재력이 있는 슈뢰딩거 연산자로 확장한다.

ABSTRACT

Let $H_V=-Δ+V$ be a Schrödinger operator on an arbitrary open set $Ω$ of $\mathbb R^d$, where $d \geq 3$, and $Δ$ is the Dirichlet Laplacian and the potential $V$ belongs to the Kato class on $Ω$. The purpose of this paper is to show $L^p$-boundedness of an operator $φ(H_V)$ for any rapidly decreasing function $φ$ on $\mathbb R$. $φ(H_V)$ is defined by the spectral theorem. As a by-product, $L^p$-$L^q$-estimates for $φ(H_V)$ are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 임의의 열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서 $V$가 Kato 클래스에 속할 경우 슈뢰딩거 연산자 $H_V$에 대한 함수해석학적 연산 $\varphi(H_V)$의 $L^p$-유계성을 확립한다.
• 스펙트럼 이론을 통해 고전적인 $L^p$-승수 결과를 특이한 잠재력이 있는 슈뢰딩거 연산자로 확장한다.
• $\theta > 0$ 및 $1 \leq p \leq \infty$에 대해 $\varphi(\theta H_V)$가 $L^p(\Omega)$에 대해 일관되게 유계임을 증명하여 척도 불변성을 보장한다.
• 함수해석학적 연산을 이용하여 $H_V$에 의해 생성되는 베소프 공간을 정의하는 기초를 마련한다.

제안 방법

• 빠르게 감쇠하는 함수의 공간 $\mathscr{S}(\mathbb{R})$에 속하는 $\varphi$에 대해 스펙트럼 정리를 이용하여 $\varphi(H_V)$를 정의한다.
• 가정 A를 도입한다: $V = V_+ - V_-$이며 $V_\pm \in K_d(\Omega)$ 이고 $\|V_- olimits_{K_d(\Omega)} < \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2 - 1)}$ 이다. 이는 $H_V$의 자기수반성과 비음성 보장에 기여한다.
• D’Ancona와 Pierfelice의 결과로부터 유도된 $d \geq 3$에 대한 열핵 $e^{-tH_V}$의 점별 추정을 활용하여 $L^p$-사상 추정에 핵심적인 역할을 한다.
• 교환자 미적분과 반복 교환자 공식 $\mathrm{Ad}^{k+1}(e^{-itR_{V,\theta}}) = -i\int_0^t \sum \Gamma(k_1,k_2,k_3) \mathrm{Ad}^{k_1}(e^{-isR_{V,\theta}}) \mathrm{Ad}^{k_2+1}(R_{V,\theta}) \mathrm{Ad}^{k_3}(e^{-i(t-s)R_{V,\theta}}) \, ds$ 을 적용하여 정규성과 감쇠를 제어한다.
• 부드럽고 컴actsupport된 함수로의 근사와 분포 수렴을 이용하여 $\mathrm{Ad}^1(R_{V,\theta})$와 해리솔브언트 $R_{V,\theta}$에 대한 항등식을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈뢰딩거 연산자 $H_V = -\Delta + V$와 $V$가 열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서 Kato 클래스에 속할 경우, 함수해석학적 연산 $\varphi(H_V)$가 $L^p(\Omega)$에 대해 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해 유계로 확장되는가?
• RQ2 빠르게 감쇠하는 함수 $\varphi$에 대해 $\varphi(\theta H_V)$의 $L^p$-연산자 노름이 $\theta > 0$ 에 대해 일관되게 유계인가?
• RQ3 $V_-$의 Kato 노름 조건이 $L^p$에서 $\varphi(H_V)$의 유계성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$)에서 열핵 $e^{-tH_V}$의 점별 추정이 $\varphi(H_V)$의 $L^p$-사상 성질에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 스펙트럼 함수해석학적 연산을 통해 $H_V$에 의해 생성되는 베소프 공간을 정의하고 연구할 수 있는가?

주요 결과

• 가정 A를 만족하는 $V$에 대해 모든 $1 \leq p \leq \infty$ 및 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R})$에 대해 연산자 $\varphi(H_V)$는 $L^p(\Omega)$에 대해 유계이다.
• $\theta > 0$ 에 대해 $\varphi(\theta H_V)$의 $L^p$-연산자 노름은 일관되게 유계이며, 이 bound는 $d$와 $\varphi$에만 의존하고 $\theta$에는 영향을 받지 않는다.
• $L^p$-유계성 결과는 고전적인 $\mathbb{R}^d$에서의 푸리에 승수 정리의 일반화로 간주되며, Kato-클래스 잠재력이 있는 슈뢰딩거 연산자로 확장된다.
• 증명은 $d \geq 3$에서 $H_V$의 열핵에 대한 점별 추정에 크게 의존하며, 이는 낮은 차원에서는 확보되지 않는다.
• $\varphi(H_V)$의 $L^p$-유계성은 함수해석학적 연산이 $L^p$에서 잘 행동하므로 $H_V$에 의해 생성되는 베소프 공간의 구성이 가능하게 한다.
• 이 결과는 최적임을 보이며, $\|V_- olimits_{K_d(\Omega)}$에 대한 소규모 조건이 자기수반성과 함수해석학적 연산의 유계성을 보장하기 위해 필수적임을 보여준다.