[논문 리뷰] $L^p$ solution of backward stochastic differential equations driven by a marked point process

Fulvia Confortola|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 시간 간격에서 marked point process에 의해 구동되는 backward stochastic differential equations (BSDEs)에 대해 $p > 1$ 인 $L^p$ 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 해는 유한한 수의 결정론적 ODE 시스템에 의해 근사 가능하며, 이 이론을 적용하여 비마코프(non-Markovian) point process 제어 문제에서 최적 제어의 존재성과 가치 함수의 표현을 입증한다. $L^p$ 적분 가능성 조건을 갖는다.

ABSTRACT

We obtain existence and uniqueness in L^p, p>1 of the solutions of a backward stochastic differential equations (BSDEs for short) driven by a marked point process, on a bounded interval. We show that the solution of the BSDE can be approximated by a finite system of deterministic differential equations. As application we address an optimal control problems for point processes of general non-Markovian type and show that BSDEs can be used to prove existence of an optimal control and to represent the value function.

연구 동기 및 목표

• marked point process에 의해 구동되는 BSDE의 $L^p$-이론을 $L^2$ 프레임워크를 초월하여 확장하기 위해.
• 생성자에 대한 $L^p$ 합성 가능 조건과 리프시츠 조건을 만족할 때, $p > 1$ 인 $L^p$ 공간에서 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 유한점프 과정을 이용한 근사 방법론을 개발하고 수렴성 및 오차 추정을 입증하기 위해.
• 일반적인 비마코프(non-Markovian) point process에 대한 최적 제어 문제를 해결하기 위해 BSDE 프레임워크를 적용하기 위해.
• 비마코프 제어 문제에서 최적 제어의 존재성을 입증하고, 가치 함수를 BSDE 해를 통해 표현하기 위해.

제안 방법

• 가중치가 부여된 $L^p$ 공간에서 고정점 원리를 사용하여 BSDE의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 점프 시간이 완전히 간접적(totally inaccessible)이라는 가정 하에 마틴게일 표현 정리를 적용한다.
• 점프 과정을 유한점프로 잘라내어 근사 방법론을 구성하고, 진짜 해로의 수렴성을 입증한다.
• 해의 오차 추정을 유도하며, 이는 마지막 점프 시간의 분포에 의존한다.
• 추가적인 기술적 가정(A2)이 성립할 경우, 근사 BSDE를 유한 차원의 결정론적 ODE 시스템으로 환원한다.
• 일반적인 비마코프 동역학을 갖는 확률적 최적 제어 문제에서 가치 함수를 BSDE 해를 통해 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 marked point process에 의해 구동되는 BSDE에 대해 $p > 1$ 인 경우에 $L^p$ 해의 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 BSDE의 해는 어떻게 유한 차원의 ODE 시스템으로 근사할 수 있는가?
• RQ3 BSDE 프레임워크는 비마코프 point process 제어 문제에서 최적 제어의 존재성을 입증하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 해의 존재성을 보장하는 데 충분한 $L^p$ 합성 가능 조건과 리프시츠 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반적인 확률적 제어 문제에서 가치 함수는 어떻게 관련된 BSDE 해를 통해 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 최종 조건 $\xi$ 와 생성자 $f$ 에 대해 $L^p$ 합성 가능 조건과 $f$ 에 대한 균일한 리프시츠 조건을 만족할 경우, $p > 1$ 인 $L^p_\beta$ 공간에서 BSDE는 유일한 해를 갖는다.
• 해는 유한점프 과정에 의해 구동되는 BSDE의 수열에 의해 근사 가능하며, 오차 추정은 마지막 점프 시간의 분포에 의존한다.
• 가정 A2가 성립할 경우, 근사 BSDE는 유한 차원의 결정론적 ODE 시스템으로 환원되어 수치 계산이 가능해진다.
• 최적 제어 문제에서 가치 함수는 $Y_0$로 표현되며, 이는 BSDE 해의 초기값이며 $L^p$ 적분 가능성과 리프시츠 조건을 만족한다.
• 최적 제어 $u^*$ 는 $\underline{u}^Z$ 로 주어지며, 여기서 $Z$ 는 BSDE 해의 $Z$-성분이며, $Y_0 = \inf_{u \in \mathcal{A}} J(u)$ 이다.
• 가장자리 선택자 $\underline{u}^Z$ 의 존재를 위한 충분조건으로서, 강건성과 강건성, 강건성 및 비용 함수의 연속성을 포함한 조건들이 제시된다.