[논문 리뷰] $L^q(L^p)$-theory of stochastic differential equations

Pengcheng Xia, Longjie Xie외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다중성 소음을 가진 확률미분방정식에 대한 $L^q(L^p)$-이론을 수립하여, 초기 조건에 대한 강한 해의 약한 미분 가능성과 비스무트-엘워티-리 공식을 증명한다. 이는 비스무트-엘워티-리 공식은 국소적 $L^p$-적분 가능성 조건 하에서의 비선형 항과 분산 계수에 대해 유도된다. 또한, $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 인 임계 경계점의 경우 약한 잘 정의됨을 증명하며, 증명은 조르니킨의 변환과 크릴로프의 추정을 통해 국소적이고 특이한 계수로 일반화된다.

ABSTRACT

In this paper we show the weak differentiability of the unique strong solution with respect to the starting point $x$ as well as Bismut-Elworthy-Li's derivative formula for the following stochastic differential equation in $\mathbb R^d$: $$ { m d} X_t=b(t,X_t){ m d} t+σ(t,X_t){ m d} W_t,\ \ X_0=x\in\mathbb R^d, $$ where $σ$ is bounded, uniformly continuous and nondegenerate, $ ablaσ\in \widetilde{\mathbb L}^{p_1}_{q_1}$ and $b\in \widetilde{\mathbb L}^{p_2}_{q_2}$ for some $p_i,q_i\in[2,\infty)$ with $\frac{d}{p_i}+\frac{2}{q_i}<1$, $i=1,2$, where $\widetilde{\mathbb L}^{p_i}_{q_i}, i=1,2$ are some localized spaces. Moreover, in the endpoint case $b\in \widetilde{\mathbb L}^{d; { m uni}}_\infty$, we also show the weak well-posedness.

연구 동기 및 목표

• 이전에 유계 메르티안 및 $L^p(L^q)$-비선형 항에 대해 확립된, 특이한 비선형 항을 가진 SDE 해의 약한 미분 가능성과 말리아빈 정규성 결과들을 국소적 적분 가능성 계수로 통합하고 확장한다.
• 비선형 항과 분산 계수에 대해 국소적 $L^p(L^q)$-조건이 만족될 때, 다중성 소음을 가진 SDE의 해 흐름에 대한 비스무트-엘워티-리 도함수 공식을 수립한다.
• 비선형 항이 임계 경계점 공간 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 에 속할 경우, SDE의 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다. 이는 이전 방법이 정규성 부족으로 실패하는 경우에 해당한다.
• Zvonkin의 변환과 Krylov의 추정을 사용하여 비정규성 분산과 특이한 비선형 항을 동시에 다룰 수 있는 통합된 프레임워크를 개발한다. 이는 $L^q(L^p)$-설정에서의 적용을 목적으로 한다.

제안 방법

• Zvonkin의 변환을 활용하여, SDE를 더 좋은 적분 성질을 가진 형태로 변형하는 정규화 변화를 구성함으로써 $L^p(L^q)$-추정의 적용 가능성을 확보한다.
• 국소적 $\widetilde{\mathbb{L}}^{p}_{q}$-공간에서 콜모고로프 방정식에 대한 Krylov의 사전 추정을 사용하여 해와 그 도함수의 성장률을 통제한다.
• 쌍대성 원리와 소볼레프 포함 추정을 적용하여, $\widetilde{\mathbb{H}}^{2,p}_{q}$-공간에서 역방향 콜모고로프 방정식의 해의 정규성을 통제한다.
• 모리피케이션과 체비셰프 부등식을 통한 유계성 추론을 사용하여 근사 해 수열에서의 극한을 통과함으로써 연속 경로 공간에서의 법칙 수렴을 보장한다.
• 문제를 국소화하고 도미네이티드 수렴 정리를 적용하기 위해 $\chi_R$를 사용한 커프오프 기법을 구현함으로써, 정규화된 해에 대해 이토 공식을 적용한 극한을 통과할 수 있도록 한다.
• 마르팅글 솔루션의 특성과 식 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{(i)}_x}\left(\int_0^T f(s,\omega_s)ds\right) = u(0,x)$ 를 통해 유일성을 도출한 후, 역방향 방정식과 이토 공식에서 유도된 정규성 원리를 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 항이 국소적으로 적분 가능하고, 비정규성 분산 계수를 가진 SDE에 대해, 초기 조건에 대한 해 흐름의 약한 미분 가능성은 성립하는가?
• RQ2 비선형 항과 분산 계수에 대해 $L^p(L^q)$-적분 가능성 조건이 만족될 때, 다중성 소음을 가진 SDE에 대해 비스무트-엘워티-리 도함수 공식이 국소적 영역에서도 성립하는가?
• RQ3 비선형 항이 임계 경계점 공간 $\widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 에 속할 경우, SDE에 대해 약한 잘 정의됨(약한 해의 존재성과 유일성)이 달성 가능한가?
• RQ4 비선형 항이 국소적으로 적분 가능할 때, Zvonkin의 변환이 유계, 균일 연속성, 비정규성 분산 계수를 가진 경우에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 특이한 계수 존재 조건 하에서, $\widetilde{\mathbb{L}}^{p}_{q}$-프레임워크에서 Krylov의 추정이 해의 정규성과 유일성 증명에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비선형 항 $\sigma$ 가 유계, 균일 연속성, 비정규성을 만족하고, $\nabla\sigma \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}$, $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_2}_{q_2}$ 이며, $p_i, q_i \in [2,\infty)$ 이고 $\frac{d}{p_i} + \frac{2}{q_i} < 1$ 를 만족할 때, SDE의 강한 해 $X_t(x)$ 는 초기 조건 $x$ 에 대해 거의 확실히 약한 미분 가능하다.
• 해 흐름에 대한 비스무트-엘워티-리 도함수 공식이 도출되었으며, 이는 해 경로의 기대값에 대한 함수의 표현을 통해 전이 밀도의 기울기를 확률론적으로 기술한다.
• 임계 경계점 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 의 경우, 약한 해의 존재성과 유일성이 확립되었으며, 이는 이전의 고전적 $L^p(L^q)$-프레임워크를 초월한다.
• Krylov의 추정과 체비셰프 부등식을 통해 유도된 근사 수열 $X^n_t$ 의 유계성에 기반하여, 법칙의 수렴이 마르팅글 솔루션으로 수렴함을 보였다.
• 역방향 콜모고로프 방정식의 종단 조건이 0인 해가 모든 시험 함수 $f$ 에 대해 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{(i)}_x}\left(\int_0^T f(s,\omega_s)ds\right) = u(0,x)$ 를 만족함을 보여, 법칙의 유일성을 증명하였다.
• Zvonkin의 변환이 유계 비선형 항의 경우 실패하는 문제를 국소적 $L^p(L^q)$-공간과 쌍대성 원리를 사용하여 해결하였으며, $\mathbb{H}^{2,\infty}$-해가 필요 없도록 하였다.