[논문 리뷰] Lévy insurance risk processes with parisian type severity of debt

Juan Carlos Pardo, José Luis Pérez외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 26.

Probability and Risk Models참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르로 음성 레비 보험 리스크 과정에서 파산을 새로운 방식으로 정의한다. 파산은 음의 순자산 외출이 무작위로 표시된 심각도 수준을 초과할 경우에만 발생한다. 퇴출 이론과 척도 함수를 사용하여, 척도 함수와 입구 법칙을 기반으로 한 게르버-샤우 함수의 명시적 표현을 유도하며, 파리지안 파산 개념을 지속 기간 기반의 실패 기준이 아닌 깊이 기반의 실패 기준으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we introduce a new definition of bankruptcy for a spectrally negative Lévy insurance risk process. More precisely, we study the Gerber-Shiu distribution for a ruin model where at each time the surplus goes negative, an independent negative random level is considered. If a negative excursion of the surplus exceeds such random level then the insurance company goes out of business. Our methodology uses excursion theory and relies on the description of the excursion measure away from 0 which was recently obtained by the authors in Pardo et al. (see arXiv:1507.05225). Our results are given in terms of the so-called scale functions.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르로 음성 레비 리스크 과정에서 파산을 음의 순자산 외출의 깊이에 기반하여 재정의함으로써 기존의 지속 기간 기반 기준을 대체한다.
• 각 음의 외출을 무작위로 표시된 동일한 분포를 가진 심각도 수준으로 표시하고, 외출이 이 수준을 초과할 경우에만 파산을 유발한다.
• 변동 이론과 퇴출 측도를 사용하여, 이 새로운 파산 프레임워크에 맞게 게르버-샤우 함수를 확장한다.
• 스펙트르로 음성 레비 과정에 대해 척도 함수와 입구 법칙을 기반으로 한 게르버-샤우 함수의 명시적 공식을 제공한다.
• 유한 변동 및 무한 변동 경로를 모두 다루며, 최근의 퇴출 측도 결과를 활용하여 무한 변동 케이스에 특별한 주의를 기울인다.

제안 방법

• 순자산 과정의 음의 외출을 모델링하기 위해 퇴출 이론을 사용하고, [23]에서 제시된 새로운 입구 법칙 기술을 활용한다.
• 강한 마코프 성질과 퇴출의 독립성을 적용하여, 제일 처음 0 이하로 떨어지는 행동에 따라 게르버-샤우 함수를 경우별로 분해한다.
• 지수적 살해와 흡수 조건이 존재할 때의 첫 번째 통과 및 첫 번째 도착 분포를 표현하기 위해 척도 함수 $W^{(q)}$ 및 $\mathcal{W}^{(q)}$ 를 사용한다.
• 레비 측도 $\Pi$, 척도 함수, 그리고 입구 법칙 $\mathcal{W}^{(q)}(b,x,y)$ 를 포함하는 적분 표현을 통해 게르버-샤우 함수를 유도한다.
• 유한한 외출을 사용하는 유한 변동 케이스와 무한한 외출을 사용하는 무한 변동 케이스를 다루며, 수많은 외출이 존재하는 경우를 다루기 위해 입구 법칙을 활용한다.
• 지연된 파산 인식을 모델링하기 위해 무기한 지수 시계 $\mathbf{e}_\lambda$ 를 도입하여 게르버-샤우 함수에 재귀적 구조를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르로 음성 레비 리스크 과정에서 파산이 음의 외출의 깊이에 기반하여 어떻게 수학적으로 정의될 수 있는가? 파산은 음의 외출이 무작위로 표시된 심각도 수준을 초과할 경우에만 발생한다.
• RQ2 이 새로운 파산 기준 하에서 게르버-샤우 함수의 구조는 어떠한가? 기존의 또는 파리지안 파산 모델과는 어떻게 다를까?
• RQ3 퇴출 이론과 척도 함수를 어떻게 활용하여 무한 변동 케이스에서 게르버-샤우 함수의 명시적 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 모델에서 퇴출 측도의 입구 법칙이 첫 번째 통과 시간과 오버슈트의 분포를 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 지연된 파산 인식을 위한 지수 시계를 포함함으로써 게르버-샤우 함수의 재귀적 구조는 어떻게 영향을 받는가?

주요 결과

• 게르버-샤우 함수 $\phi_f(x,q,b)$ 는 첫 번째 0 이하 통과 시의 경로 행동에 따라 다섯 개의 적분 항의 합으로 표현된다.
• 첫 번째 항은 점프가 심각도 수준을 초과하여 즉시 파산이 발생하는 경우를 기록하며, $\int_0^b \int_{(-\infty,-(y+Y))} f(y,y+u) \mathcal{W}^{(q)}(b,x,y) \Pi(du) dy$ 로 표현된다.
• 세 번째 항인 $\mathcal{I}_f(x,q,b)$ 는 과정이 0으로 복귀하기 전에 $-Y$ 를 도달하는 경우를 모델링하며, $\mathcal{W}^{(q)}$ 와 $W^{(q)}$ 함수를 포함하는 4중 적분으로 주어진다.
• 두 번째 및 네 번째 항은 지수 시계 $\mathbf{e}_\lambda$ 를 포함하며, 각각 $f(0,0) \cdot \frac{\sigma^2}{2}(\mathcal{O}^{(q)}(b,x) - \mathcal{O}^{(q+\lambda)}(b,x))$ 와 $\phi_f(0,q,b) \cdot \frac{\sigma^2}{2} \mathcal{O}^{(q+\lambda)}(b,x)$ 의 기여를 한다.
• 다섯 번째 항은 $-Y$ 를 도달하지 않고 0으로 복귀하는 경로를 모델링하며, $\mathbb{E}\left[\int_0^b \int_{(-y-Y,-y)} \frac{W^{(q)}(y+u+Y)}{W^{(q)}(Y)} \mathcal{W}^{(q)}(b,x,y) \Pi(du) dy\right] \cdot \phi_f(0,q,b)$ 로 주어진다.
• 전체 표현인 $\phi_f(x,q,b)$ 는 이러한 항들의 선형 조합이며, 함수 $\phi_f(0,q,b)$ 가 재귀적으로 나타나며, 이는 지수 시계의 무기한 성질을 반영한다.