[논문 리뷰] Lagrangian and Hamiltonian Geometries. Applications to Analytical Mechanics

Miron Radu|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 19.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 미분다양체 $M$ 의 접다발 $TM$ 과 코접다발 $T^*M$ 상에서 라그랑주 기하학과 해밀토니안 기하학을 사용하여 해석역학을 위한 기하적 프레임워크를 개발한다. 이는 비보존적 및 고차수 기계계의 엄밀한 수식화를 가능하게 한다. $k \geq 1$ 차수의 페인슬러계, 라그랑주계 및 해밀토니안계를 도입하여, 속도 및 운동량 공간에서의 비선형 접속과 변분법을 통해 운동 방정식과 보존법칙을 통합적으로 다룬다.

ABSTRACT

The aim of the present text is twofold: to provide a compendium of Lagrangian and Hamiltonian geometries and to introduce and investigate new analytical Mechanics: Finslerian, Lagrangian and Hamiltonian. The fundamental equations (or evolution equations) of these Mechanics are derived from the variational calculus applied to the integral of action and these can be studied by using the methods of Lagrangian or Hamiltonian geometries. More general, the notions of higher order Lagrange or Hamilton spaces have been introduced and developed by the present author. The applications led to the notions of Lagrangian or Hamiltonian Analytical Mechanics of higher order. For short, in this text we aim to solve some difficult problems: The problem of geometrization of classical non conservative mechanical systems; The foundations of geometrical theory of new mechanics: Finslerian, Lagrangian and Hamiltonian;To determine the evolution equations of the classical mechanical systems for whose external forces depend on the higher order accelerations. My colleagues Professors M. Anastasiei, I. Bucataru, I. Mihai, K. Stepanovici made important remarks and suggestions and Mrs. Carmen Savin prepared an excellent print-form of the hand-written text. Many thanks to all of them.

연구 동기 및 목표

• 해석역학을 위한 라그랑주 기하학과 해밀토니안 기하학의 종합적 안내서를 제공하는 것.
• 속도에 의존하는 힘을 갖는 고전적 비보존 기계계를 접다발의 미분기하학을 통해 기하학적으로 다루는 문제를 해결하는 것.
• $k \geq 1$ 차수의 페인슬러계, 라그랑주계 및 해밀토니안계를 도입하고 연구하는 것.
• 고차수 가속도로 일반화된 고전적 변분원리를 도출하고, 이에 대응하는 운동 방정식을 유도하는 것.
• 라그랑주 공간과 해밀토니안 공간 사이의 이중성 관계를 레전드르 변환을 통해 수립하는 것.

제안 방법

• 미분다양체 $M$ 의 접다발 $TM$ 과 코접다발 $T^*M$ 을 사용하여 차수 1 및 $k \geq 1$ 의 라그랑주 공간과 해밀토니안 공간을 구성하는 것.
• 기본 기하대상 정의: 리우빌 벡터장 $\mathbb{C}$, 접구조 $J$, 반사영장자 $S$, 비선형 접속 $N$, 그리고 메트릭 $N$-선형 접속 $D$.
• 라그랑주 기하학과 해밀토니안 기하학 간의 관계를 수립하기 위해 레전드르 변환을 활용하여 $L^{(k)n}$ 과 $H^{(k)n}$ 공간 간의 이중성을 확립하는 것.
• 행동 적분 $I(c) = \int_0^1 L(x, \dot{x}) \, dt$ 에 변분원리를 적용하여 오일러-라그랑주 방정식을 도출하는 것.
• 라그랑주 함수로부터 정규 반사영장자와 비선형 접속을 구성하여 운동 방정식 유도를 가능하게 하는 것.
• 리만계, 페인슬러계 및 일반화된 라그랑주계에 이 те론을 적용하며, 고차수 가속도에 의존하는 외부 힘을 포함하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도에 의존하는 힘을 갖는 비보존 기계계는 어떻게 미분기하학을 통해 엄밀하게 기하학적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 외부 힘이 고차수 가속도($k \geq 2$)에 의존하는 기계계의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ3 접다발 기하학을 통해 페인슬러계와 라그랑주계를 어떻게 일관되게 정의하고 분석할 수 있는가?
• RQ4 레전드르 변환은 고차수 기계계로의 라그랑주-해밀토니안 기계학 이중성의 확장에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 외부 힘이 위치의 고차수 도함수에 의존할 경우, 리만계 기계계의 기본 운동 방정식은 무엇인가?

주요 결과

• 비보존 기계계는 접다발 $TM$ 의 기하학적 구조에 통합됨으로써 엄밀한 기하학적 기반을 확보하여 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.
• 이 이론은 페인슬러계 $\Sigma_F = (M, F, F_e)$ 와 카르탕 기계계를 도입하고 정의함으로써, 고전적 기계학을 리만계 및 라그랑주 프레임워크를 초월하여 확장한다.
• 외부 힘이 고차수 가속도($\dot{x}^i, \ddot{x}^i, \dots, \frac{d^k x^i}{dt^k}$)에 의존하는 기계계에 대해, 고전적 오일러-라그랑주 방정식을 일반화한 운동 방정식을 도출한다.
• 라그랑주 함수 $L(x,y)$ 와 관련된 정규 반사영장자 $S$ 는 비선형 접속 $N$ 과 메트릭 $N$-선형 접속 $D$ 를 결정하며, 이는 곡률 및 구조 방정식의 구성에 기여한다.
• 속도 공간 $TM$ 상에 거의 카일러 기하학적 모델을 구성함으로써, 라그랑주 공간 내 전자기장과 중력장 연구에 대한 기하학적 기초를 마련한다.
• 레전드르 변환은 고차수 공간으로 확장되어 $L^{(k)n}$ 과 $H^{(k)n}$ 간의 이중성을 수립하고, 해밀토니안 공간의 고차수에 대한 하미르톤-자코비 방정식을 이끌어낸다.