[논문 리뷰] Langlands-Rapoport Conjecture Over Function Fields

Esmail Arasteh Rad, Urs Hartl|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 함수체 위의 전역 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모듈리 스택에 대해 Langlands-Rapoport 추측을 공식화하고 증명한다. 이는 $\nabla{\mathscr{H}}$-데이터를 통해 그들의 모od $p$ 점에 대한 군론적 기술을 제공하며, 핵심 결과로는 유한체 위의 ${\mathfrak{G}}$-shtuka 집합이 호모모르피즘의 동형류에 대한 분리합집합과 일치함을 규명한다. 이는 헤크 및 갈루아 작용과 호환된다.

ABSTRACT

In this article we formulate and prove the analogue of the Langlands-Rapoport conjecture for the moduli stacks of global $G$-shtukas. Here $G$ is a parahoric Bruhat-Tits group scheme over a smooth projective curve $C$ over a finite field $\mathbb{F}_q$.

연구 동기 및 목표

• 함수체 위의 전역 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모듈리 스택으로의 Langlands-Rapoport 추측을 쇤마 다양체에서 일반화함.
• 이러한 모듈리 스택의 모od $p$ 점에 대한 군론적 기술을 제시하며, 쇤마 다양체의 원래 추측과 유사하게 기술함.
• 유한체 위의 ${\mathfrak{G}}$-shtuka 집합과 그룹 스킴으로의 호모모르피즘의 동형류에 따라 인덱싱된 분리합집합 사이의 표준적 동형을 확립함.
• 아델릭 군 ${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}})$ 및 갈루아 군의 작용과 이 식별의 호환성을 검증함.
• 이론적 도구를 마련하여 추적 공식과 국소 모델을 통해 이러한 모듈리 스택의 하세-바일 제타 함수를 계산함.

제안 방법

• 모형 $\nabla{\mathscr{H}}$-데이터를 쌍 $({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$로 공식화함. 여기서 ${\mathfrak{G}}$는 곡선 $C$ 위의 파라호릭 브라우트-티츠 군 스킴이며, $\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$는 왜곡된 아핀 플래그 다양체의 형식적 완비화에 대한 유계를 나타냄.
• 고정된 특성 ${\underline{\nu}}$, 유계 $\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$ 및 $H$-레벨 구조를 갖춘 ${\mathfrak{G}}$-shtuka를 매개하는 형식적 대수적 스택의 타워 $\nabla_{n}^{H,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}$를 구성함.
• 군 스킴으로의 호모모르피즘의 동형류에 따라 분리합집합으로서 정의된 군자리 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$를 정의함. 이는 특수 점을 코딩함.
• 이sov의 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) \xrightarrow{\sim} \nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}({\overline{{\mathbb{F}}}})$를 확립하여 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모듈리 공간을 $\nabla{\mathscr{H}}$-데이터의 군자리와 일치시킴.
• 아핀 플래그 다양체 내의 국소 모델과 쇼버트 다양체 이론을 활용하여, 코호몰로지 위의 반단순 프로베니우스 추적을 헤크 대칭의 중심에 속하는 함수와 연결함.
• 이전 연구에서의 국소 이론 및 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모티브적 해석 결과를 활용하여, 구성이 헤크 및 갈루아 대칭성과 호환됨을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 전역 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모듈리 스택으로의 Langlands-Rapoport 추측은 쇤마 다양체에서 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 함수체 설정에서 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모듈리 스택의 모od $p$ 점에 대한 정확한 군론적 기술은 무엇인가?
• RQ3 ${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}})$의 작용이 모듈리 공간에 미치는 영향은 $\nabla{\mathscr{H}}$-데이터의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 틀을 통해 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 모듈리 스택의 하세-바일 제타 함수를 $L$-함수의 곱으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 특수 및 허용 가능한 ${\mathfrak{G}}$-shtuka의 역할은 자동형 및 갈루아 데이터 사이의 대응을 실현하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 모듈리 스택 $\nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}$의 모od $p$ 점들은 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$에 의해 체계적으로 매개되며, 이는 호모모르피즘 $\varphi: \mathfrak{P} \to {\mathfrak{G}} \times_C \operatorname{Spec}(\breve{Q} \otimes_Q \breve{Q})$의 동형류를 분류함.
• 이sov ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) \xrightarrow{\sim} \nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}({\overline{{\mathbb{F}}}})$는 ${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}}) \times Z(Q) \times {\underline{\Phi}}$의 작용과 호환되어 갈루아 및 헤크 대칭성을 유지함.
• 모든 준등변형류의 ${\mathfrak{G}}$-shtuka에는 특수 대표원이 존재하며, $\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0}$의 사영형이 준등변형류를 결정함.
• ${\underline{\mathcal{G}}}_0$ 및 ${\underline{\mathcal{G}}}_0'$의 $\Theta$ 사상의 상의 교차가 비어 있지 않은 것은 두 ${\mathfrak{G}}$-shtuka가 동일한 준등변형류에 속해 있음을 동치로 함.
• $\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$가 쇼버트 다양체 $\mathcal{S}(w_i)$를 통해 정의될 경우, 허용 조건은 군론적으로 기술될 수 있음.
• 이 구성은 추적 공식과 코트비츠의 시험함수 추측을 통해 모듈리 스택의 하세-바일 제타 함수를 계산하는 데 핵심 요소를 제공함.