[논문 리뷰] Large Banking Systems with Default and Recovery: A Mean Field Game Model

Romuald Élie, Tomoyuki Ichiba외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 28.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 평균장 게임 모델을 제안하여 대규모 은행 시스템의 시스템적 리스크를 분석한다. 이 모델은 평균 회귀 성향을 가지는 드리프트와 도산 임계값에 대한 도달 시간을 포함하는 McKean-Vlasov SDE를 통해 도산 및 회수 동역학을 수반한다. 시스템적 리스크는 포아송-플랑크 방정식의 폭발로 모델링되며, 은행들이 리스크를 최소화하기 위한 최적화 문제를 수립한다. 특수한 경우에 대해 명시적 해를 제공하고 일반적인 경우는 유한 차분 스킴을 통해 수치적 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We consider a mean-field model for large banking systems, which takes into account default and recovery of the institutions. Building on models used for groups of interacting neurons, we first study a McKean-Vlasov dynamics and its evolutionary Fokker-Planck equation in which the mean-field interactions occur through a mean-reverting term and through a hitting time corresponding to a default level. The latter feature reflects the impact of a financial institution's default on the global distribution of reserves in the banking system. The systemic risk problem of financial institutions is understood as a blow-up phenomenon of the Fokker-Planck equation. Then, we incorporate in the model an optimization component by letting the institutions control part of their dynamics in order to minimize their expected risk. Phrasing this optimization problem as a mean-field game, we provide an explicit solution in a special case and, in the general case, we report numerical experiments based on a finite difference scheme.

연구 동기 및 목표

• 도산 연쇄 반응으로 인해 발생하는 포아송-플랑크 방정식의 폭발 현상으로서 대규모 은행 시스템의 시스템적 리스크를 모델링한다.
• 은행의 전략적 행동을 반영하기 위해, 기관들이 고유 리스크를 최소화하기 위해 자신의 동적 행동을 최적화하는 평균장 게임을 수립한다.
• 상호작용 강도, 초깃금, 변동성, 할인율이 도산률과 시스템 안정성에 미치는 영향을 분석한다.
• 유한 차분 기반의 수치적 스킴과 반복 알고리즘을 개발하여, 결합된 힘의-자브리-벨만 방정식과 포아송-플랑크 방정식을 푸는 데 사용한다.
• 초깃금이 0에 가까울 경우 시스템이 폭발하거나 정적 상태로 수렴하는 조건을 조사한다.

제안 방법

• 개별 은행의 유보금에 대해 평균 경험 평균 유보금에 의존하고 평균 회귀 항을 포함하는 McKean-Vlasov SDE를 수립한다.
• 은행의 도산을 예금금이 0에 도달할 때의 도달 시간으로 모델링하며, 이는 시스템적 충격을 유발하여 나머지 모든 은행의 예금금을 평균 예금금에 비례하는 양만큼 감소시킨다.
• 신규 은행을 도입하는 생식 메커니즘을 도입하여, 도산 이전 평균 예금금과 동일한 예금금을 가진 신규 은행이 즉시 생성되며, 기관 수를 유지한다.
• 유보금 분포에 대한 관련 포아송-플랑크 방정식을 유도하고, 폭발 현상이 시스템적 위기의 징후임을 확인한다.
• 최적화 문제를 평균장 게임으로 수립하여, 힘의-자브리-벨만 방정식과 포아송-플랑크 방정식이 결합된 시스템을 도출한다.
• 수렴을 위해 연속적 초과완화법과 뉴턴 방법을 사용하는 반복 유한 차분 스킴(알고리즘 1)을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 은행 간 상호작용 강도가 도산률 동역학에 미치는 영향은 어떠한가? 즉, 시스템적 리스크의 발생에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 포아송-플랑크 방정정식이 폭발을 보일 조건은 무엇이며, 이는 금융 위기 연쇄 반응과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 초기 예금금 수준, 변동성, 할인율이 은행 시스템의 장기적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 특정 매개변수 가정 하에 평균장 게임에 대해 명시적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 초기 예금금이 0에 가까울 경우 시스템을 시뮬레이션할 때 발생하는 수치적 과제는 무엇이며, 이를 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• 상호작용 강도(a)가 높거나 초깃금 평균(x₀)이 클수록 도산률이 증가하고, 할인율(r)이 높거나 변동성(σ)이 낮을수록 도산률이 감소한다.
• 초깃금 평균이 3.0일 경우 시스템은 안정적으로 유지되며, 도산률은 거의 0에 가까우며 평균 예금금의 변화도 미미하다.
• 초깃금이 약 1.8 이하일 경우 수치적 수렴에 실패하여, T=10 이전에 폭발이 발생할 가능성이 있음을 시사하며, 이는 이론적 기대와 일치한다.
• 초기에는 확산으로 인해 취약한 은행들이 빠르게 도산하여 도산률이 급격히 상승하지만, 이후 평균 수준에서 새로운 은행이 재투입되면서 안정화된다.
• 해는 초깃금 평균 근처에 집중되어 있지만, 질량을 유지하고 경계 기법을 피하기 위해 충분히 큰 공간 영역(L=10)이 필요하다.
• 수치 실험 결과, 기본 매개변수 조건(a=0.5, x₀=2.0, r=0.5, σ=1.0) 하에서 반복 유한 차분 스킴이 수렴하며, m와 u에 대해 안정적이고 해석 가능한 동역학을 생성한다.