[논문 리뷰] Large deviation principle for Poisson driven SDEs in epidemic models

Étienne Pardoux, Brice Samegni-Kepgnou|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전이 비율이 0으로 수렴할 수 있는 희귀 사건 분석에 적합한, 포아송 과정에 의해 구동되는 전염병 모델의 클래스에 대해 대규모 편차 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 수립한다. 파르두와 크라트의 이전 작업을 단순화하기 위해 도메인과 비율 함수에 대한 정규화 가정을 도입함으로써, 경험 과정에 대한 양호한 비용 함수를 유도한다. 이는 전이 비율이 0으로 수렴하는 확률적 전염병 역학에서 희귀 사건을 분석할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We consider a general class of epidemic models obtained by applying a random time change to a collection of Poisson processes and we show the large deviation principle for such models. We generalize to a more general situation the approach followed by Dolgoaschinnykh [3] in the case of the SIR epidemic model. Thanks to an assumption which is satisfied in many examples, we simplify the recent work by P. Kratz and E. Pardoux [8].

연구 동기 및 목표

• 전이 비율이 0으로 수렴할 수 있는 포아송 과정에 의해 구동되는 일반적인 전염병 모델 클래스에 대해 대규모 편차 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 수립하는 것.
• 상태 공간에 기하학적 정규화 가정을 도입함으로써, 파르두와 크라트의 최근 LDP 증명을 단순화하는 것.
• 전이 비율이 0에 수렴할 수 있는 확률적 전염병 모델에 대해 엄밀한 대규모 편차 프레임워크를 제공하는 것, 예를 들어 희귀 사건 분석와 관련하여.
• 영역의 안정성 영역에서의 퇴출 시간에 대한 지수적 추정을 유도하여, LDP를 첫 번째 통과 시간 점근적 성질과 연결하는 것.

제안 방법

• 상태에 의존하는 비율을 가진 포아송 과정의 랜덤 시간 변화를 사용하여 전염병 과정을 점프 마코프 과정으로 모델링한다.
• 경험 과정 $ Z^N(t) $ 를 포아송 증분의 정규화된 합으로 정의하며, 점프 벡터 $ h_j $ 와 비율 함수 $ \beta_j(z) $ 를 포함한다.
• 단형태 $ A $ 의 내부로 점들을 매핑하는 가족 $ \Phi_a(z) $ 를 통한 도메인 정규화를 도입하여 경계로부터의 균일한 거리를 확보한다.
• 통계적 경로 이벤트의 로그 확률에 대한 상한과 하한을 증명함으로써 LDP를 수립한다. 이는 지수적 체비셰프 유형 부등식과 경로 근사 기법을 사용한다.
• 제어된 미분방정식의 작용 적분을 통해 유도된 해밀토니안을 기반으로 한 비용 함수 $ I_T(\phi) $ 를 사용한다.
• 수축 원리와 컴actness 추론을 적용하여 LDP를 스코로호드 공간 $ D_{T,A} $ 의 열린 및 닫힌 집합으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이 비율이 0으로 수렴할 경우, 포아송 과정에 의해 구동되는 SDE를 갖는 전염병 모델에 대해 대규모 편차 원리(LDP)를 수립할 수 있는가?
• RQ2 도메인 정규화 $ \Phi_a $ 를 도입함으로써, 이전의 접근 방식에 비해 LDP 증명이 어떻게 단순화되는가?
• RQ3 대규모 인구 수에서 안정성 영역에서의 퇴출 시간 $ \tau^N_O $ 의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 비용 함수 $ I_T(\phi) $ 는 결정론적 ODE 근처의 행동과 희귀 경로의 편차와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 확률 측도 $ \mathbb{P}^N_z $ 는 양호한 비용 함수 $ I_T $ 를 갖는 대규모 편차 원리를 만족하며, 이는 희귀 사건 확률의 지수적 감쇠를 보장한다.
• 상한은 경로 근사 기법을 사용한 집합 $ F^s_\delta $ 를 통해 확립되며, 지수 감쇠율은 $ \exp\{-N(s - \eta)\} $ 이다.
• 하한은 도메인 내부에 머무르며 필요한 비용 함수 조건을 만족하는 제어 경로를 구성함으로써 도출된다.
• 영역 $ O $ 에서의 퇴출 시간 $ \tau^N_O $ 는 $ \mathbb{P}_z(\exp\{N(V_{\widetilde{\partial O}} - \eta)\} < \tau^N_O < \exp\{N(V_{\widetilde{\partial O}} + \eta)\}) \to 1 $ 을 만족하며, $ N \to \infty $ 일 때 성립한다.
• 평균 퇴출 시간은 $ \mathbb{E}_z[\tau^N_O] \asymp \exp\{N V_{\widetilde{\partial O}}\} $ 를 만족하며, 여기서 $ V_{\widetilde{\partial O}} = \inf_{y \in \widetilde{\partial O}} V_{\bar{O}}(z^*, y) $ 이다.
• 비용 함수 $ I_T(\phi) $ 는 절대 연속 경로에서서만 유한하며, LDP는 초기 상태 공간의 컴act 부분집합 전역에서 균일하게 성립한다.