[논문 리뷰] Large deviations for interacting Bessel-like processes and applications to systemic risk

Tomoyuki Ichiba, Mykhaylo Shkolnikov|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 립시츠 연속이 아니고 비가역적인 분산 계수를 가진 상호작용 Bessel 유사 확산 과정에 대해 대규모 편차 원리를 수립하며, 비국소적 McKean-Vlasov 확률미분방정식을 통해 수소역학적 한계와 혼돈의 전파를 증명한다. 주요 기여는 명시적인 계수 조건 하에서 이러한 결과를 처음으로 이룩한 것으로, 은행 간 대출 시스템에서의 체계적 리스크 모델링에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We establish a process level large deviation principle for systems of interacting Bessel-like diffusion processes. By establishing weak uniqueness for the limiting non-local SDE of McKean-Vlasov type, we conclude that the latter describes the process level hydrodynamic limit of such systems and obtain a propagation of chaos result. This is the first instance of results of this type in the context of interacting diffusion processes under explicit assumptions on the coefficients, where the diffusion coefficients are allowed to be both non-Lipschitz and degenerate. In the second part of the paper, we explain how systems of this type naturally arise in the study of stability of the interbank lending system and describe some financial implications of our results.

연구 동기 및 목표

• 비가역적이고 립시츠 연속이 아닌 분산 계수를 가진 상호작용 확산 과정에 대해 프로세스 수준의 대규모 편차 원리를 수립하기.
• 유한 시스템의 극한으로 나타나는 비국소적 McKean-Vlasov 유형의 확률미분방정식에 대해 약한 유일성과 수소역학적 한계를 증명하기.
• 편미분 계수와 분산 계수에 대한 명시적 가정 하에서 평균장 극한에서 혼돈의 전파를 입증하기.
• Bessel 유형의 역학을 사용하여 은행 간 대출 시스템에서의 체계적 리스크를 모델링하기.
• 제한된 SDE의 장기적 행동과 정적 분포를 분석하며, 감마형 정적 법칙을 포함한다.

제안 방법

• 스케일 $ n $ 을 가진 프로세스 수준의 대규모 편차 원리의 사용으로, 비용 함수는 제어 과정과 브라운 운동에 대한 변분 공식으로 정의된다.
• 수렴하는 비국소적 SDE에 대한 약한 유일성의 적용으로, 수소역학적 한계가 잘 정의됨을 보장한다.
• 이토의 공식과 모멘트 추정을 활용하여 과정의 일阶 및 이阶 모멘트에 대한 미분방정식 유도.
• 과정의 분포 시간 진화 분석을 가능하게 하는 라플라스 변환에 대한 선형 일阶 편미분방정식 유도.
• 포크너-플랭크 방정식과 라플라스 변환 기법을 활용하여 특정 결합 조건 하에서 정적 분포를 감마 법으로 특성화한다.
• 상호작용 함수 $ \varphi $ 를 포함하는 ODE를 통한 분산 역학 분석으로, 약한 상호작용 하에서 초기에 분산이 증가함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호작용 Bessel 유사 확산 과정의 집합이 대규모 편차 원리를 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템의 수소역학적 한계는 어떻게 행동하며, 제한되는 비국소적 SDE의 성격은 무엇인가?
• RQ3 비가역적이고 립시츠 연속이 아닌 분산 계수를 가진 시스템에서 약한 유일성과 혼돈의 전파를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 상호작용 함수 $ \varphi $ 와 초기 조건은 장기적 행동과 정적 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이 틀이 은행 간 대출 시스템에서의 체계적 리스크 모델링에 미치는 금융적 함의는 무엇인가?

주요 결과

• empirical measures $ \rho^n $ 의 수열은 공간 $ \mathcal{X} $ 상에서 대규모 편차 원리를 만족하며, 비용 함수는 $ J(\gamma) = \frac{1}{2} \inf_{(u,W)} \mathbb{E}\left[\int_0^T u(t)^2 dt\right] $ 로 주어진다. 여기서 최소화는 제어 과정이 제어된 SDE의 법을 $ \gamma $ 로 만족시키는 조건 하에서 이루어진다.
• 수소역학적 한계는 비국소적 SDE $ dX(t) = b(X(t), \mathcal{L}(X(t))) dt + \sigma(X(t)) dW(t) $ 의 유일한 강한 해로 특성화되며, $ \sigma(x) = \sqrt{x} g(x) $, $ g $ 는 연속적이고 유계이며 엄격히 양수이다.
• 혼돈의 전파가 성립한다: 고정된 수의 입자들의 공동 법은 평균장 SDE의 독립적 해의 곱으로 수렴한다.
• 과정의 분산 $ V(t) $ 는 상호작용이 약할 경우에 초기에 증가하며, ODE $ \frac{dV}{dt} = 4m_\lambda - 2\varphi(\mathcal{L}(X(t))) V(t) $ 로 제어되며, $ V(0) = 0 $ 이다.
• 재귀성 조건 하에서 정적 분포는 형상 $ \mathfrak{a} = 2/\varphi^* $ 과 비율 $ \mathfrak{b} = \varphi^* m_\lambda / 2 $ 인 감마 분포가 된다. 여기서 $ \varphi^* = \varphi(\alpha) $ 이다.
• 정적 법은 라플라스 변환 방정식 $ (\varphi^* + 2x) \frac{d\mathfrak{u}}{dx} + \varphi^* m_\lambda \mathfrak{u} = 0 $ 을 만족하며, 이로부터 $ \mathfrak{u}(x) = (1 + (2/\varphi^*)x)^{-\varphi^* m_\lambda / 2} $ 이 도출된다.