[논문 리뷰] Large deviations for random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|ArXiv.org|2008. 09. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Z}^d$ 위에서의 랜덤 워크 랜덤 환경(RWRE)에 대해, 고정된 환경 조건 하에서와 평균화된 조건 하에서의 대 deviations 원리(LDP)를 수립한다. 환경 마코프 체인의 경험 측도를 통해 고정된 LDP를 증명하고, 고정된 비용 함수에 대한 변분 공식을 유도한다. 비중첩 또는 칼리코프 조건 하에서, 평균화된 비용 함수는 엄격히 볼록하고 해석적이며, 그 최소화자를 규명한다. 고차원($d \geq 3+1$)에서는 고정된 LDP와 평균화된 LDP가 내부가 비어 있는 집합에서 일치하며, 이는 환경 체인의 두브 $h$-변형을 통해 달성된다.

ABSTRACT

In this work, we study the large deviation properties of random walk in a random environment on $\mathbb{Z}^d$ with $d\geq1$. We start with the quenched case, take the point of view of the particle, and prove the large deviation principle (LDP) for the pair empirical measure of the environment Markov chain. By an appropriate contraction, we deduce the quenched LDP for the mean velocity of the particle and obtain a variational formula for the corresponding rate function $I_q$. We propose an Ansatz for the minimizer of this formula. This Ansatz is easily verified when $d=1$. In his 2003 paper, Varadhan proves the averaged LDP for the mean velocity and gives a variational formula for the corresponding rate function $I_a$. Under the non-nestling assumption (resp. Kalikow's condition), we show that $I_a$ is strictly convex and analytic on a non-empty open set $\mathcal{A}$, and that the true velocity $ξ_o$ is an element (resp. in the closure) of $\mathcal{A}$. We then identify the minimizer of Varadhan's variational formula at any $ξ\in\mathcal{A}$. For walks in high dimension, we believe that $I_a$ and $I_q$ agree on a set with non-empty interior. We prove this for space-time walks when the dimension is at least 3+1. In the latter case, we show that the cheapest way to condition the asymptotic mean velocity of the particle to be equal to any $ξ$ close to $ξ_o$ is to tilt the transition kernel of the environment Markov chain via a Doob $h$-transform.

연구 동기 및 목표

• 고정 측도 하에서 랜덤 워크 랜덤 환경(RWRE)의 평균 속도에 대한 대 deviations 원리(LDP)를 수립하기.
• 환경 마코프 체인의 쌍 경험 측도를 사용하여 고정된 비용 함수 $I_q$에 대한 변분 공식을 도출하기.
• 평균화된 LDP를 분석하고, 평균화된 비용 함수 $I_a$가 엄격히 볼록하고 해석적일 조건을 규명하기.
• 고정된 LDP와 평균화된 LDP 간의 관계를 고찰하며, 특히 고차원에서의 성질을 조사하기.
• 비중첩 또는 칼리코프 조건 하에서 바르다한의 변분 공식에 대한 $I_a$의 최소화자를 규명하기.

제안 방법

• 로그 모멘트 생성 함수와 수축 원리를 사용하여, 고정 측도 하에서 환경 마코프 체인의 쌍 경험 측도에 대한 LDP를 증명하기.
• 환경 마코프 체인의 불변 측도 위에서 최소화함으로써 고정된 비용 함수 $I_q$에 대한 변분 공식을 도출하기.
• 고정된 비용 함수 $I_q$의 최소화자를 위한 앤타르 제안을 하고, 이를 1차원 경우에 명시적으로 검증하기.
• 비중첩 또는 칼리코프 조건 하에서, 비어 있지 않은 열린 집합 $\mathcal{A}$ 위에서 평균화된 비용 함수 $I_a$의 엄격한 볼록성과 해석성을 확립하기.
• 환경 마코프 체인의 두브 $h$-변형을 사용하여, $I_a$에 대한 바르다한의 변분 공식의 최소화자를 규명하기.
• 공간-시간 RWRE에 대해 $d \geq 3+1$ 차원에서, 고정 측도 하에서의 환경 체인이 원래 체인의 두브 $h$-변형임을 보여줌으로써 고정된 LDP와 평균화된 LDP의 등가성을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 RWRE의 평균 속도에 대한 고정된 LDP가 성립하는 조건은 무엇이며, 그 비용 함수의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 고차원에서 고정된 비용 함수 $I_q$와 평균화된 비용 함수 $I_a$는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 평균화된 비용 함수 $I_a$가 엄격히 볼록하고 해석적일 조건는 무엇이며, 진짜 속도 $\xi_o$는 해석성 영역 내부 또는 그 폐포 내 어디에 위치하는가?
• RQ4 바르다한의 변분 공식에 대한 $I_a$의 최소화자는 무엇이며, 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ5 공간-시간 설정에서 고정된 LDP와 평균화된 LDP가 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 고정된 LDP는 환경 마코프 체인의 쌍 경험 측도에 대한 LDP를 통해 RWRE의 평균 속도에 대해 수립된다.
• 고정된 비용 함수 $I_q$에 대한 변분 공식이 도출되었으며, 최소화자를 위한 앤타르 제안이 제기되었고, 이는 1차원에서 명시적으로 검증되었다.
• 비중첩 가정 또는 칼리코프 조건 하에서, 평균화된 비용 함수 $I_a$는 비어 있지 않은 열린 집합 $\mathcal{A}$ 위에서 엄격히 볼록하고 해석적이며, $\xi_o \in \mathcal{A}$ 또는 그 폐포에 속한다.
• 바르다한의 변분 공식에 대한 $I_a$의 최소화자는 환경 마코프 체인의 두브 $h$-변형을 통해 얻어진 불변 측도로 규명된다.
• 공간-시간 RWRE에 대해 $d \geq 3+1$ 차원에서, 고정된 LDP와 평균화된 LDP는 내부가 비어 있는 집합에서 등가이며, 고정 측도 하에서의 환경 체인이 원래 체인의 두브 $h$-변형임을 보여준다.
• 고정 불변 측도 $\mu_\xi^\infty$의 마진널 측도 $\mu_\xi^1$는 모든 $\mathcal{B}_{-N}^+$ 위에서 $\mathbb{P}$에 대해 절대 연속임을 확인하여, $h$-변형의 구조를 확인한다.