[논문 리뷰] Large subgraphs in pseudo-random graphs

Anirban Basak, Shankar Bhamidi외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 도수 및 공도 조건이 에르되시–레니 수반 그래프와 유사한 조건을 만족하는 가짜 랜덤 그래프가, 크기가 약 ((1−δ)∧1/2−o(1))log n / log(1/p) 이하인 부분그래프에 대해 G(n,p)와 점점 더 유사한 유도 부분그래프 복제 수를 가지며, 이는 渐近적으로 동일한 수를 가짐을 입증한다. 이 결과는 랜덤 정규 그래프, 벡터 공간 구성, 지수 랜덤 그래프 모델을 포함한 광범위한 그래프 클래스에 대해 성립하며, 이중 벡터 공간 그래프의 경우 경계가 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

We consider classes of pseudo-random graphs on $n$ vertices for which the degree of every vertex and the co-degree between every pair of vertices are in the intervals $(np - Cn^δ,np+Cn^δ)$ and $(np^2- C n^δ, np^2 +C n^δ)$ respectively, for some absolute constant $C$, and $p, δ\in (0,1)$. We show that for such pseudo-random graphs the number of induced isomorphic copies of subgraphs of size $s$ are approximately same as that of an Erdős-Réyni random graph with edge connectivity probability $p$ as long as $s \le (((1-δ)\wedge \frac{1}{2})-o(1))\log n/\log (1/p)$, when $p \in (0,1/2]$. When $p \in (1/2,1)$ we obtain a similar result. Our result is applicable for a large class of random and deterministic graphs including exponential random graph models (ERGMs), thresholded graphs from high-dimensional correlation networks, Erdős-Réyni random graphs conditioned on large cliques, random $d$-regular graphs and graphs obtained from vector spaces over binary fields. In the context of the last example, the results obtained are optimal. Straight-forward extensions using the proof techniques in this paper imply strengthening of the above results in the context of larger motifs if a model allows control over higher co-degree type functionals.

연구 동기 및 목표

• 도수 및 공도 변동이 제한된 가짜 랜덤 그래프가 에르되시–레니 랜덤 그래프 G(n,p)의 부분그래프 분포를 언제나 모방하는 조건을 규명하는 것.
• 이러한 가짜 랜덤 그래프에서 G(n,p)와 점점 더 유사한 수를 가지는 최대 부분그래프 크기 s 를 규명하는 것.
• 고정 크기의 모티프를 넘어서 증가하는 크기의 부분그래프로 쿼اسي-랜덤성 기준을 확장하는 것.
• 이중 벡터 공간 그래프에서 유도된 경계의 최적성 증명하기.
• 랜덤 및 결정론적 그래프 모두에 적용 가능한 일반적 프레임워크 제공, ERGM 및 임계 상관 네트워크 포함.

제안 방법

• 절대 상수 C 와 δ ∈ (0,1) 에 대해 각 정점의 도수와 쌍의 공도가 각각 (np − Cn^δ, np + Cn^δ) 및 (np² − Cn^δ, np² + Cn^δ) 에 포함되도록 가짜 랜덤 그래프 정의.
• 스펙트럼 및 조합 기법을 사용하여 이러한 그래프에서 크기 s 의 부분그래프 H 의 유도 복제 수를 근사함.
• 모멘트 방법과 포함-배제 원리를 활용해 부분그래프 수의 집중도를 확보하고, G(n,p)의 기대값과 비교함.
• 벡터 공간 그래프(G_n^b)의 구조를 활용해 클리크 수의 정확한 渐近적 표현을 유도하고, 경계의 최적성 입증.
• 확률적 방법과 F2 위에서의 선형대수를 활용해 G_n^b 내 클리크 수를 세며, 수직 여부와 스핀 기반 구성 활용.
• G_n^b 에서 두 벡터는 내적 값이 2로 나누었을 때 0이면 인접함을 이용하고, 보완 사상 v ↦ 1 + v 를 통해 대칭성 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도수 및 공도 집중 조건을 만족하는 가짜 랜덤 그래프에서 G(n,p)와 동일한 수의 유도 복제 수를 가지는 부분그래프 크기 s 는 어느 정도인가요?
• RQ2 고정 크기의 모티프를 넘어서 증가하는 크기의 부분그래프로 쿼اسي-랜덤성 특성(즉, G(n,p)와 동일한 부분그래프 수)을 확장할 수 있을까요?
• RQ3 도수 및 공도 변동이 제한된 그래프에서 이러한 일치가 성립하는 부분그래프 크기의 기본 한계는 무엇인가요?
• RQ4 이러한 결과는 랜덤 d-정규 그래프, ERGM, 벡터 공간 그래프 등 특정 모델에 어떻게 적용되나요?
• RQ5 유도된 부분그래프 크기 경계가 어떤 그래프 클래스에서 최적인지 확인되었으며, 그 경우 어떤 모델에서 성립하나요?

주요 결과

• p ∈ (0, 1/2] 인 경우, 크기 s 가 ((1−δ)∧1/2−o(1)) log n / log(1/p) 이하일 때, 임의의 부분그래프 H 의 유도 동형 복제 수는 G(n,p)와 점점 더 유사해진다.
• p ∈ (1/2, 1) 인 경우에도 유사한 결과가 성립하며, 이 경우 경계는 간선 확률의 로그 척도에 따라 달라진다.
• 이중 벡터 공간 그래프 G_n^b 에서는 경계가 최적임을 입증하며, 크기 t+t' 의 클리크 수는 G(n,1/2)와 점점 더 유사해진다.
• G_n^b 에서 크기 t+t' 의 클리크 수는 점점 더 ∼ 1/(t+t')! ⋅ n^{t+t'} ⋅ (1/2)^{t+t' choose 2} ⋅ ∏_{ℓ≥1}(1−1/4^ℓ) 와 유사해지며, 이는 G(n,1/2) 기대값과 상수 인자 범위 내에 있다.
• 상수 ∏_{ℓ≥1}(1−1/4^ℓ) 는 exp(−2/3) 이하로 유계이므로, 점점 더 유사한 결과가 비퇴화됨을 보장한다.
• 증명 기법은 고차 공도 기능을 제어할 수 있다면 더 큰 무늬로 확장 가능하므로, richer 모델에서 결과의 강화 가능성을 시사한다.