[논문 리뷰] Large time behavior of unbounded solutions of first-order Hamilton-Jacobi equations in the whole space

Guy Barles, Olivier Ley외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전체 공간에서 첫째 순서의 아이케오날 유형 편미분방정식에 대한 유계가 아닌 점도해의 장기적 행동을 일반적인 볼록성 및 강제 조건 하에서 조사한다. 초기 데이터가 아래로 유계일 경우, 유일한 에르고딕 상수를 가진 에르고딕 해로 수렴하는 에르고딕 행동을 확립하며, 이러한 유계 조건이 없을 경우 비유일성으로 인해 수렴이 실패할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We study the large time behavior of solutions of first-order convex Hamilton-Jacobi Equations of Eikonal type set in the whole space. We assume that the solutions may have arbitrary growth. A complete study of the structure of solutions of the ergodic problem is provided : contrarily to the periodic setting, the ergodic constant is not anymore unique, leading to different large time behavior for the solutions. We establish the ergodic behavior of the solutions of the Cauchy problem (i) when starting with a bounded from below initial condition and (ii) for some particular unbounded from below initial condition, two cases for which we have different ergodic constants which play a role. When the solution is not bounded from below, an example showing that the convergence may fail in general is provided.

연구 동기 및 목표

• 전체 공간에서 첫째 순서의 해밀토니안-자코비 방정식에 대한 유계가 아닌 점도해의 장기적 점근적 행동을 이해하는 것.
• 해가 임의의 성장률을 가질 수 있을 경우 에르고딕 문제의 해의 구조를 특성화하는 것.
• 초기 데이터가 아래로 유계일 경우 해가 에르고딕 상태로 수렴하는 조건을 규명하며, 특히 초기 데이터의 아래 유계성의 역할을 집중적으로 다루는 것.
• 초기 데이터가 아래로 무한대일 경우, 심지어 아이케오날 방정식의 해일지라도 수렴이 실패할 수 있음을 보이는 것.
• 약한 KAM 이론이나 사전에 가정된 하위해에 의존하지 않는 PDE 기반의 에르고딕 행동 분석을 제공하는 것.

제안 방법

• 분석은 점도해 이론과 비유계 해에 대한 비교 원리에 기반하며, 성장 제약 조건 없이도 성립하는 Barles [19, 23]의 일반적 비교 결과를 사용한다.
• 저자들은 Theorem B.1에 의해 점도해와 Barron-Jensen 해의 등가성을 활용하여, inf- 및 sup-컨볼루션 하에서 하위해 및 초위해 성질을 유지한다.
• 저자들은 \mathbb{R}^N에서의 에르고딕 문제 $ H(x, Dv) = l(x) + c $ 를 분석하며, 강제성 및 볼록성 조건 하에서 모든 $ c \geq 0 $ 에 대해 해의 존재성을 증명한다.
• 장기적 행동은 초기 데이터의 inf-컨볼루션과 제어이론적 해석에서의 값 함수를 통해 연구된다.
• 논문은 초기 데이터가 아래로 유계가 아닐 경우 수렴이 실패할 수 있음을 보여주는 명시적 예를 제시한다. 이는 심지어 에르고딕 방정식의 해에 유계 변형을 가한 경우에도 성립한다.
• 핵심 기술적 도구는 $ \liminf_{|x|\to\infty} l(x) > 0 $ 인 컴팩트성 가정으로, 이는 $ \mathcal{A} = \{x : l(x) = 0\} $ 가 비어 있지 않고 컴팩트하다는 것을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 데이터가 아래로 무한대일 경우, 첫째 순서 해밀토니안-자코비 방정식의 초기값 문제 해가 시간이 무한대에 가까워질수록 에르고딕 해로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 전체 공간 설정에서 에르고딕 상수가 비유일적일 경우, 주기적 경우와 비교해 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 초기 데이터의 아래 유계성이 에르고딕 문제의 해로의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 초기 데이터가 아래로 무한대일 경우, 심지어 에르고딕 방정식의 해에 유계 변형을 가한 경우라도 해의 수렴이 실패할 수 있는가?
• RQ5 전체 공간 설정에서의 에르고딕 문제의 구조는 주기적 경우와 어떻게 다를까? 특히 해의 존재성과 유일성 측면에서.

주요 결과

• 초기 데이터가 아래로 유계일 경우, $ u(x,t) + ct \to v(x) $ 가 $ C(\mathbb{R}^N) $ 에서 $ t \to \infty $ 일 때 성립하며, $ (c,v) $ 는 에르고딕 문제 $ H(x,Dv) = l(x) + c $ 의 해이다. 여기서 $ c \geq 0 $ 이다.
• 전체 공간 설정에서 에르고딕 상수 $ c $ 는 비유일적이다. $ c \geq 0 $ 인 여러 값이 에르고딕 방정식의 해를 지지할 수 있다.
• 만약 $ \mathcal{A} = \{x : l(x) = 0\} $ 가 비어 있지 않고 컴팩트할 경우, 에르고딕 문제에 대해 $ (c=0, v \geq 0) $ 의 해가 존재하며, $ H $ 에 대한 성장 조건 하에서 $ |x| \to \infty $ 일 때 $ v(x) \to \infty $ 가 된다.
• 모든 $ c > 0 $ 에 대해, 에르고딕 문제의 해 $ v $ 는 아래로 무한대이다. 두 해의 차이에 대한 점점 감소하는 조건 하에서 유일성이 성립한다.
• 예를 들어, $ u_0(x) = S(x) + b(x) $ 이며 $ b $ 가 유계이자 리프시츠일 경우, $ u_0 $ 는 아래로 유계가 아닐 수 있다. 이 경우 $ u(x,t) + ct $ 는 $ t \to \infty $ 일 때 수렴하지 않으며, 이는 유계 조건이 필수적임을 보여준다.
• 논문은 $ u_0 $ 가 $ c > -\min l $ 인 에르고딕 방정식의 해에 대한 유계 변형일 경우, $ v(x) - u_0(x) \not\to 0 $ 가 $ x \to -\infty $ 일 때 성립하면 수렴이 실패함을 보이며, 이는 에르고딕 해의 아래 유계성이 핵심임을 시사한다.