[논문 리뷰] Lattice models from CFT on surfaces with holes I: Torus partition function via two lattice cells

Enrico M. Brehm, Ingo Runkel|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 02.

Quantum many-body systems참고 문헌 60인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 구멍이 있는 토러스 위의 2차원 유리 CFT(대칭장론)에서 열린 채널 인수분해와 잘린 삼각형 세포를 이용해 일파rameter 가중치 가진 격자 모델의 가족을 구성한다. 매개변수로는 구멍의 반지름을 사용하며, 이는 고에너지 상태를 억제하여 유한한 모델을 만들어내며, 반지름이 0이 되는 극한에서는 정확한 CFT 진폭을 회복하고, 구멍이 서로 접하는 극한에서는 위상장론이 된다. 주요 기여는 새로운 '은폐 경계 조건'을 통해 CFT의 전체 위상선 결함의 융합 카테고리가 정확히 실현된다는 것이다.

ABSTRACT

We construct a one-parameter family of lattice models starting from a two-dimensional rational conformal field theory on a torus with a regular lattice of holes, each of which is equipped with a conformal boundary condition. The lattice model is obtained by cutting the surface into triangles with clipped-off edges using open channel factorisation. The parameter is given by the hole radius. At finite radius, high energy states are suppressed and the model is effectively finite. In the zero-radius limit, it recovers the CFT amplitude exactly. In the touching hole limit, one obtains a topological field theory. If one chooses a special conformal boundary condition which we call "cloaking boundary condition", then for each value of the radius the fusion category of topological line defects of the CFT is contained in the lattice model. The fact that the full topological symmetry of the initial CFT is realised exactly is a key feature of our lattice models. We provide an explicit recursive procedure to evaluate the interaction vertex on arbitrary states. As an example, we study the lattice model obtained from the Ising CFT on a torus with one hole, decomposed into two lattice cells. We numerically compare the truncated lattice model to the CFT expression obtained from expanding the boundary state in terms of the hole radius and we find good agreement at intermediate values of the radius.

연구 동기 및 목표

• 구멍이 있는 토러스 위의 2차원 유리 CFT에서 유한하고 매개변수화된 격자 모델을 구성한다.
• 원래 CFT의 전체 위상 대칭성(융합 카테고리)이 격자 모델에 그대로 유지되도록 보장한다.
• 임의의 상태에서 상호작용 정점 계산을 위한 재귀적 절차를 제공한다.
• 반지름이 0이 되는 극한에서 격자 모델이 CFT 진폭으로 수렴하고, 구멍이 서로 접하는 극한에서는 위상장론으로 수렴함을 보여준다.
• 한 개의 구멍이 두 개의 격자 세포로 분할된 이징 CFT를 이용해 모델을 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• 격자 모델은 열린 채널 인수분해를 통해 구멍이 있는 토러스를 잘린 삼각형으로 잘라내어 구성된다.
• 구멍의 반지름은 연속적인 매개변수로 작용하며, 고에너지 모드를 억제하는 고주파수 절단 역할을 한다.
• 특수한 '은폐 경계 조건'이 도입되어 CFT의 전체 융합 카테고리가 격자 모델에 포함되도록 보장된다.
• 잘린 삼각형 위에서 등각 지도와 고유함수를 사용해 상호작용 정점을 재귀적으로 계산한다.
• 토러스 분할 함수는 닫힌 채널과 열린 채널 모두에서 평가되며, 열린 채널에서는 중간 conformal block을 통한 상태 합산 방식을 사용한다.
• 등각 지도(예: G₀, ψ₀)의 명시적 표현은 모비우스 변환과 고유함수를 사용해 유도되며, 잘린 삼각형 위에서 상관 함수 계산이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 구멍이 있는 표면 위의 2차원 유리 CFT에서 전체 위상 대칭성을 유지하면서 체계적으로 유한한 격자 모델을 유도할 수 있는가?
• RQ2 구멍의 반지름은 어떤 역할을 하여 UV 발산을 조절하고 CFT와 위상장론 사이를 연결하는가?
• RQ3 어떻게 하면 CFT의 전체 융합 카테고리가 격자 모델에 정확히 실현되는 경계 조건을 구성할 수 있는가?
• RQ4 유한한 수의 격자 세포를 사용해도 반지름이 0이 되는 극한에서 정확한 CFT 진폭을 재현할 수 있는가?
• RQ5 특히 한 개의 구멍이 있는 이징 CFT의 경우, 수치적으로 CFT 결과와 비교했을 때 모델의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 은폐 경계 조건을 가진 격자 모델은 기반 CFT의 전체 위상선 결함 융합 카테고리를 정확히 실현한다.
• 반지름이 0이 되는 극한에서, 격자 모델은 단 두 개의 격자 세포로도 정확한 CFT 진폭을 재현한다.
• 구멍이 서로 접하는 극한에서 모델은 위상장론으로 축소되며, 이는 IR 영역에서의 위상성질을 확인한다.
• 이징 CFT에서의 수치 비교 결과, 중간 크기의 구멍 반지름에서 경계 상태 전개를 통해 구한 CFT 결과와 격자 모델 간 양호한 일치를 보였다.
• 임의의 상태에서 상호작용 정점 계산을 위한 재귀 절차는 등각 지도 기법과 고유함수를 사용해 명시적으로 구성되었으며, 검증되었다.
• 유도된 등각 지도 ψ₀(z)는 (6.15)에 기재된 형태와 정확히 일치하여, 잘린 삼각형 위의 등각장론과의 일致성을 확인한다.