[논문 리뷰] Laws of large numbers and Langevin approximations for stochastic neural field equations

Evelyn Buckwar, Martin Riedler|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 27.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 16인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 확률적 신경장 모델에 대해 엄밀한 확률적 극한정리들을 수립하여, 대규모 인구 수 스케일링 하에서 결정론적 Wilson-Cowan 방정식이 유체 극한으로 나타남을 보여준다. 또한 마팅게일 성분에 대한 중심극한정리에 기반해 확률적 신경장 랑주반 방정식을 유도함으로써, 화학 랑주반 방정식의 무한차원 해석적 대체물로서 신경계 시스템에 대한 수학적으로 타당한 해석을 제공한다.

ABSTRACT

In this study we consider limit theorems for microscopic stochastic models of neural fields. We show that the Wilson-Cowan equation can be obtained as the limit in probability on compacts for a sequence of microscopic models when the number of neuron populations distributed in space and the number of neurons per population tend to infinity. Though the latter divergence is not necessary. This result also allows to obtain limits for qualitatively different stochastic convergence concepts, e.g., convergence in the mean. Further, we present a central limit theorem for the martingale part of the microscopic models which, suitably rescaled, converges to a centered Gaussian process with independent increments. These two results provide the basis for presenting the neural field Langevin equation, a stochastic differential equation taking values in a Hilbert space, which is the infinite-dimensional analogue of the Chemical Langevin Equation in the present setting. On a technical level we apply recently developed law of large numbers and central limit theorems for piecewise deterministic processes taking values in Hilbert spaces to a master equation formulation of stochastic neuronal network models. These theorems are valid for processes taking values in Hilbert spaces and by this are able to incorporate spatial structures of the underlying model.

연구 동기 및 목표

• 유한 크기의 확률적 뉴런 네트워크에 대한 근사치로 결정론적 신경장 방정식(예: Wilson-Cowan 방정식)을 사용하는 것을 정당화하기 위해.
• 대규모 뉴런 집단 내 임의의 소음에 대해, 미세모델의 마팅게일 성분에 대한 중심극한정리를 통해 수학적으로 기술하기 위해.
• 화학 랑주반 방정식을 공간적으로 구조화된 뉴런 시스템으로 일반화한 Hilbert 공간 내에서의 확률적 신경장 방정식을 도출하기 위해.
• 비현행적 전개 방식인 van Kampen 시스템 크기 전개를 넘어서, 수학적으로 정확한 수렴 결과(수렴 유형, 조건, 속도)를 제공하기 위해.

제안 방법

• 최근 개발된 Hilbert 공간 내의 조각별 결정론적 마코프 과정에 대한 대수법칙과 중심극한정리를, 확률적 뉴런 네트워크의 마스터 방정식 형태에 적용한다.
• 이산적이고 마코프성인 스파iking 동역학을 포함한 유한 크기의 뉴런 집단을 모델링하기 위해 마스터 방정식을 사용하며, Hilbert 공간에 값이 존재하는 과정을 통해 공간적 구조를 통합한다.
• 유체 극한(대수법칙)을 도출하여, 인구 수가 무한히 증가함에 따라 컴팩트한 영역에서 Wilson-Cowan 방정식으로의 확률적 수렴을 보여준다.
• 과정의 마팅게일 성분에 중심극한정리를 적용하여, 적절한 스케일링 하에 중심이 이동한 가우시안 과정으로 수렴함을 보이며, 이는 독립 증분을 가진다.
• 유체 극한과 소음 스케일링을 결합하여 Hilbert 공간 내에서의 확률적 진화 방정식으로서 신경장 랑주반 방정식을 구성한다. 이는 화학 랑주반 방정식과 유사하다.
• 랑주반 및 선형 소음 근사의 평균과 이차 모멘트 방정식을 유도하여, 약간의 비선형성이 선형일 경우에 동일한 결과를 보임을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에 수렴하는 인구 수와 인구 집단 수에 따라, 미세구조적 확률적 신경장 모델의 수열에서 Wilson-Cowan 방정식이 어떤 조건에서 극한으로 나타나는가?
• RQ2 무한차원 설정에서 대규모 뉴런 집단 내 임의의 소음은 어떻게 수학적으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 신경장 역학의 맥락에서 화학 랑주반 방정식의 무한차원 해석적 대체물은 무엇인가?
• RQ4 랑주반 근사의 모멘트 방정식이 언제 평균장 방정식의 것과 닫히고 일치하는가?
• RQ5 이 프레임워크의 수렴 성질은 van Kampen 시스템 크기 전개의 것과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• Wilson-Cowan 방정식은 수렴이 컴팩트한 영역에서 발생함을 보여주며, 인구 수와 인구 집단 수가 모두 무한해질 때, 미세구조적 확률 모델의 유체 극한으로 엄밀히 도출된다.
• 미세모델의 마팅게일 성분은 적절히 스케일링된 후 중심이 이동한 독립 증분을 가진 가우시안 과정으로 수렴하며, 이는 신경장 랑주반 방정식의 구성에 기여한다.
• 결과적으로 도출된 신경장 랑주반 방정식은 Hilbert 공간 내에서의 확률적 진화 방정식이며, 신경장에 대한 화학 랑주반 방정식의 무한차원 해석적 대체물로 기능한다.
• Wilson-Cowan 방정식의 비선형성이 선형일 경우, 랑주반 및 선형 소음 근사의 평균과 이차 모멘트 방정식은 일치하고 닫힌 형태를 이룬다. 이는 유한차원 화학 동역학과 유사하다.
• 랑주반 및 선형 소음 근사의 모멘트 방정식은 구조적으로 유사하지만 동일하지 않으며, 비선형성이 선형일 경우에만 일치한다. 이 경우 시스템은 닫힌 형태가 된다.
• 이 프레임워크는 미세구조적 확률 모델과 거시적 방정식 사이에 수학적으로 정확한 연결을 제공하며, 수렴 유형, 조건, 속도를 정량화한다. 이는 van Kampen 전개의 한계를 초월한다.