[논문 리뷰] Lawvere-Tierney sheaves, factorization systems, sections and $j$-essential monomorphisms in a topos

Zeinab Khanjanzadeh, Ali Madanshekaf|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 토포스 내에서 Lawvere-Tierney sheaf, 분해 체계, 및 $j$-essential 단사 사상에 대해 연구하며, 화살표 $f: X \to B$가 $j_B$-sheaf임과 동치로, 그 그래프가 $\mathcal{E}/B$ 내에서 단면이고, 단면의 대상 $S(f)$가 $\mathcal{E}$ 내에서 $j$-sheaf임을 증명한다. 또한 $j$-essential 단사 사상의 개념을 도입하고, 임의의 프레시프 토포스 내의 모든 프레시프가 최대의 본질적 확장을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let $j$ be a Lawvere-Tierney topology (a topology, for short) on an arbitrary topos $\mathcal{E}$, $B$ an object of $\mathcal{E}$, and $j_B = j imes 1_B$ the induced topology on the slice topos $\mathcal{E}/B$. In this manuscript, we analyze some properties of the pullback functor $Π_B:\mathcal{E} ightarrow \mathcal{E}/B$ which have deal with topology. Then for a left cancelable class $\mathcal{M}$ of all $j$-dense monomorphisms in a topos $\mathcal{E}$, we achieve some necessary and sufficient conditions for that $(\mathcal{M} , \mathcal{M}^{\perp})$ is a factorization system in $\mathcal{E}$, which is related to the factorization systems in slice topoi $\mathcal{E}/B,$ where $B$ ranges over the class of objects of $\mathcal{E}$. Among other things, we prove that an arrow $f : X ightarrow B$ in $\mathcal{E}$ is a $j_B$-sheaf whenever the graph of $f$, is a section in $\mathcal{E}/B$ as well as the object of sections $S(f)$ of $f$, is a $j$-sheaf in $\mathcal{E}$. Furthermore, we introduce a class of monomorphisms in $\mathcal{E}$, which we call them $j$-essential. Some equivalent forms of those and some of their properties are presented. Also, we prove that any presheaf in a presheaf topos has a maximal essential extension. Finally, some similarities and differences of the obtained result are discussed if we put a (productive) weak topology $j$, studied by some authors, instead of a topology.

연구 동기 및 목표

• 프레시프 토포스 $\mathcal{E}/B$ 내에서 화살표 $f: X \to B$가 $j_B$-sheaf임을 단면 대상 $S(f)$와 $f$의 그래프를 통해 특성화하는 것.
• $j$-essential 단사 사상의 정의 및 성질을 연구하고, 그들이 단사성과 분해 체계와 어떻게 관련되는지 탐구하는 것.
• 임의의 프레시프가 프레시프 토포스 내에서 최대의 본질적 확장을 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 완전한 Lawvere-Tierney 위상과 생산적 약한 위상 간의 결과를 비교하여, 유사성이 깨지는 지점을 규명하는 것.

제안 방법

• 화살표 $f: X \to B$가 $j_B$-sheaf임과 동치로, 그 그래프가 $\mathcal{E}/B$ 내에서 단면이고, $S(f)$가 $\mathcal{E}$ 내에서 $j$-sheaf임을 증명하기 위해, 범주론적 대칭성과 단면 대상을 사용한다.
• 분할 토포스 구조를 활용하여, $\Pi_B$에 의한 당김이 $j$-밀도 단사 사상을 반영하는 단사 사상으로서 $j$-essential 단사 사상을 정의한다.
• 프레시프 토포스 $\widehat{\mathcal{C}}$ 내에서 프레시프의 최대 $j$-essential 확장을 증명하기 위해 Zorn의 보조정리를 적용한다.
• 화살표 $f: X \to B$가 $j_B$-sheaf임과 동치로, 그 그래프가 $\mathcal{E}/B$ 내에서 단면이고, $S(f)$가 $\mathcal{E}$ 내에서 $j$-sheaf임을 증명한다.
• 완전한 Lawvere-Tierney 위상과 생산적 약한 위상 간의 결과를 비교하며, 약한 위상에서는 일부 분해 조건의 충분성에 실패함을 지적한다.
• 내부 논리와 부분대상 분류자 성질을 사용하여, $j$-밀도 단사 사상이 합성과 당김에 대해 닫혀 있음을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 토포스 $\mathcal{E}$ 내의 화살표 $f: X \to B$가 분할 토포스 $\mathcal{E}/B$ 내에서 $j_B$-sheaf인가?
• RQ2 $\mathcal{M}$이 $j$-밀도 단사 사상의 집합일 때, 쌍 $(\mathcal{M}, \mathcal{M}^\perp)$가 분해 체계를 이룰 조건은 무엇인가?
• RQ3 $j$-essential 단사 사상은 무엇으로 특징지어지며, 단사성과 본질적 확장과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 프레시프 토포스 내의 모든 프레시프가 최대의 $j$-essential 확장을 갖는가? 이는 $j$-단사성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 생산적 약한 위상으로 완전한 Lawvere-Tierney 위상으로 대체될 경우, 분해 및 단사 사상의 닫힘 성질에서 어떤 차이가 발생하는가?

주요 결과

• 화살표 $f: X \to B$가 $\mathcal{E}$ 내에서 $j_B$-sheaf임과 동치로, 그 그래프가 $\mathcal{E}/B$ 내에서 단면이고, 단면의 대상 $S(f)$가 $\mathcal{E}$ 내에서 $j$-sheaf임을 증명한다.
• $j$-essential 단사 사상은 $\Pi_B$를 통한 당김에 의해 $j$-밀도 단사 사상을 반영하는 단사 사상으로 특징지어지며, 이는 $j$-sheaf 성질을 유지한다.
• 프레시프 토포스 $\widehat{\mathcal{C}}$ 내의 임의의 프레시프 $F$는 Zorn의 보조정리를 프레시프의 본질적 확장의 부분순서 집합에 적용하여 최대의 $j$-essential 확장을 갖는다.
• $j$-단사성 프레시프(즉, $j$-sheaf)는 적절한 $j$-essential 확장을 갖지 않으며, 이는 비단사 사상의 재구성 조건과 모순되기 때문이다.
• $\Pi_B$는 $j$-essential 단사 사상의 성질을 반영한다. 즉, $\Pi_B(f)$가 $j_B$-essential이면, $f$는 $j$-essential이다.
• 생산적 약한 위상 $j$에 대해서는, 완전한 위상의 경우와 유사한 많은 결과가 성립하지만, 일부 분해 조건의 충분성은 실패한다. 특히, 밀도 단사 사상의 닫힘 성질의 역이 일반적으로 성립하지 않기 때문이다.