[논문 리뷰] LBB Stability of a Mixed Discontinuous/Continuous Galerkin Finite Element Pair

Colin J. Cotter, David A. Ham외 2명|ArXiv.org|2007. 07. 31.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비정렬 삼각형/타 tetrahedral 메esh에서 파동 및 불압축성 유동 방정식을 해결하기 위해 불연속 선형 속도와 연속 2차 압력이 사용되는 P1_DG-P2 혼합 유한요소 쌍을 제안한다. 이 방법은 불연속 갈레르킨 근사에 의한 속도 자유도 증가를 통해 LBB 안정성을 확보함으로써 임의의 에너지 모드를 제거하고, 질량 행렬의 럼핑 없이도 정확하고 안정적인 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a new mixed discontinuous/continuous Galerkin finite element for solving the 2- and 3-dimensional wave equations and equations of incompressible flow. The element, which we refer to as P1dg-P2, uses discontinuous piecewise linear functions for velocity and continuous piecewise quadratic functions for pressure. The aim of introducing the mixed formulation is to produce a new flexible element choice for triangular and tetrahedral meshes which satisfies the LBB stability condition and hence has no spurious zero-energy modes. We illustrate this property with numerical integrations of the wave equation in two dimensions, an analysis of the resultant discrete Laplace operator in two and three dimensions, and a normal mode analysis of the semi-discrete wave equation in one dimension.

연구 동기 및 목표

• 비정렬 메쉬에서 파동 및 불압축성 유동 방정식의 혼합 유한요소 이산화에서 LBB 안정성 문제를 해결한다.
• 기본 혼합 요소에서 수렴성과 정확도를 떨어뜨리는 '임의의 에너지 모드' 및 '고치기 어려운 모드'를 극복한다.
• 안정성을 향상시키면서도 압력에 대해 고차 정확도를 유지하는 새로운 혼합 불연속/연속 갈레르킨 쌍(P1_DG-P2)을 제안한다.
• 질량 행렬 럼핑이나 구조적 스타게드 그리드를 요구하지 않고도 안정적이고 고차 이산화를 가능하게 한다.
• 지구물리학적 해양 모델링에서 P1_DG-P2의 잠재력을 탐색하며, 특히 지구력 평형을 유지하는 데 기여할 수 있는지를 고려한다.

제안 방법

• 속도에 대해 불연속(piecewise) 선형 함수(P1_DG)와 압력에 대해 연속(piecewise) 2차 함수(P2)를 사용한다.
• 혼합 유한요소 변분 공식을 사용하여 파동 및 불압축성 유동 방정식의 약한 형태를 구성한다.
• 불연속 갈레르킨 프레임워크 내에서 수치적 플럭스와 안정화 항을 통해 경계 조건을 구현한다.
• 적절한 다항식 차수 선택을 통해 LBB 안정성을 확보하기 위해 적절한 다항식 차수 선택을 통해 inf-sup 조건을 만족시킨다.
• 속도의 블록 대각 질량 행렬을 사용하여 결과로 생긴 반연속 시스템을 명시적 시간 적분으로 풀어낸다.
• 속도 질량 행렬의 희박성(sparcity)을 활용하여 질량 럼핑을 피함으로써 압력 기울기 계산의 정확도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 불연속/연속 갈레르킨 유한요소 쌍은 비정렬 삼각형/타 tetrahedral 메쉬에서 LBB 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 P1_DG-P2 요소는 파동 방정식 시뮬레이션에서 임의의 에너지 모드 및 '고치기 어려운 모드'를 제거하는가?
• RQ3 P1_DG-P2 요소를 사용할 경우 비정렬 2D 및 3D 메쉬에서 이산 라플라스 연산자의 스펙트럼 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 고차 압력 표현 덕분에 P1_DG-P2 요소는 회전 유동에서 지구력 평형을 유지할 수 있는가?
• RQ5 불연속 속도의 영향으로 인해 지구물리학적 모델에서 운동량 보존과 압력 기울기 오차에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 1차원에서 정규 모드 분석을 통해 P1_DG-P2 요소가 LBB 안정 조건을 만족함을 확인하였으며, 단조적으로 증가하는 분산 관계와 스펙트럼 갭이 존재한다.
• 비정렬 삼각형 메쉬에서 2차원 파동 방정식의 수치적 적분 결과, 장기간에 걸쳐도 임의의 모드 없이 매끄러운 해를 얻을 수 있었다.
• 2D 및 3D 비정렬 메쉬에서 이산 라플라스 연산자의 고유값 분석을 통해 1차원의 영공간(null space)이 상수 함수만 포함됨을 확인하였으며, 이는 임의의 모드의 부재를 의미한다.
• 속도장은 요소 간격에서 약간의 불연속성을 보이지만, 해는 여전히 매끄럽고 잘 해석되며, 이는 강건성을 시사한다.
• 속도의 블록 대각 질량 행렬 덕분에 압력 포isson 시스템을 정확하고 럼핑 없이 해석할 수 있었으며, 이는 압력 기울기 항의 정확도 향상을 가져왔다.
• 고차 압력 표현(P2) 덕분에 P1-P1과 같은 저차 쌍보다 지구력 평형을 더 잘 근사할 수 있었으며, 압력 기울기 오차가 감소하였다.