[논문 리뷰] LCD codes over ${\mathbb F}_q $ are as good as linear codes for q at least four

Ruud Pellikaan|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 q ≥ 4인 유한체에서 모든 선형 코드가 단순 등가를 통해 LCD 코드로 변환 가능하다는 것을 증명한다. 즉, LCD 코드는 일반 선형 코드와 동일한 최적의 매개변수를 달성한다. 그뢰브너 기저 이론을 이용해 생성행렬에 대각 스케일링을 적용함으로써, 결과적으로 힐이 자명한 코드를 생성하고, 이는 q가 제곱수이며 q > 4일 경우 허미션 안 LCD 코드로도 확장된다.

ABSTRACT

The hull $H(C)$ of a linear code $C$ is defined by $H(C)=C \cap C^\perp$. A linear code with a complementary dual (LCD) is a linear code with $H(C)=\{0\}$. The dimension of the hull of a code is an invariant under permutation equivalence. For binary and ternary codes the dimension of the hull is also invariant under monomial equivalence and we show that this invariant is determined by the extended weight enumerator of the code.\\ The hull of a code is not invariant under monomial equivalence if $q\geq 4$. We show that every ${\mathbb F}_q $-linear code is monomial equivalent with an LCD code in case $q \geq 4$. The proof uses techniques from Gröbner basis theory. We conclude that if there exists an ${\mathbb F}_q $-linear code with parameters $[n,k,d]_q$ and $q \geq 4$, then there exists also a LCD code with the same parameters. Hence this holds for optimal and MDS codes. In particular there exist LCD codes that are above the Gilbert-Varshamov bound if $q$ is a square and $q\geq 49$ by the existence of such codes that are algebraic geometric.\\ Similar results are obtained with respect to Hermitian LCD codes.

연구 동기 및 목표

• q ≥ 4일 때 F_q 위의 모든 선형 코드가 LCD 코드와 단순 등가임을 입증하는 것.
• q가 제곱수이며 q > 4일 경우 이 결과를 허미션 안 LCD 코드로 확장하는 것.
• 최적 또는 MDS 코드의 존재가 동일한 매개변수를 가진 해당하는 LCD 코드의 존재를 암시함을 보여주는 것.
• q가 제곱수이며 q ≥ 49일 경우, 대수기하 코드를 통해 LCD 코드가 지리터-바르샤모프 경계를 초월할 수 있음을 보여주는 것.
• 단순 등가에 따른 힐 차원의 불변성에 대해 설명하며, 이는 이진 및 삼진 경우와는 달리 q ≥ 4일 경우 성립하지 않음을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 선형 코드 C를 생성행렬 G = (I_k | B)의 체계적 형태로 표현한다.
• x ∈ (F_q^*)^k를 사용해 대각 변환 D(x)를 적용하여 첫 k개의 열을 스케일링하고, 새로운 코드 C_x를 생성행렬 (D(x) | B)로 형성한다.
• 다음과 같은 다변수 다항식 f(X) = det((D(X)|B)(D(X)|B)^T) = det(D(X^2) + BB^T)를 정의한다. 이는 각 변수에 대해 차수 2인 다항식이다.
• 그뢰브너 기저 이론과 조합적 노울스텐센 정리(제4.5조를 통해)를 이용해 f(X)가 0이 아니며, 따라서 어떤 x ∈ (F_q^*)^k 에서도 0이 아님을 보인다.
• f(x) ≠ 0이면 C_x의 힐이 자명하다는 것을 증명한다. 즉, H(C_x) = {0}이며, 따라서 코르올라리 4.2에 의해 C_x는 LCD이다.
• 허미션 안 LCD 코드의 경우, g(X) = det((D(X)|B)(D(X^{√q})|B̄)^T)를 정의한다. 이는 각 변수에 대해 차수 √q + 1인 다항식이며, q > 4이면서 제곱수일 경우 동일한 0이 아닌 값 존재의 논증을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q ≥ 4인 F_q 위의 모든 선형 코드가 단순 등가를 통해 LCD 코드로 변환될 수 있는가?
• RQ2 q ≥ 4일 때 단순 등가에 따른 힐 차원이 불변하는가? 이는 이진 및 삼진 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 q ≥ 4일 경우 최적 및 MDS 코드가 LCD 코드로서 실현 가능한가?
• RQ4 q가 제곱수이며 q > 4일 경우, F_q 위의 모든 선형 코드에 대해 허미션 안 LCD 코드가 존재하는가?
• RQ5 LCD 코드는 어떤 조건에서 지리터-바르샤모프 경계를 초월할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?

주요 결과

• q ≥ 4인 F_q 선형 코드에 대해, 동일한 매개변수 [n,k,d]_q를 가진 단순 등가 LCD 코드가 존재한다.
• 이 구성은 생성행렬에서 유도된 다항식 f(X)에 기반한다. 이는 조합적 노울스텐센 정리에 의해 0이 아니며, 따라서 (F_q^*)^k 상에서 0이 아님을 보장한다.
• f(x) ≠ 0이면 결과 코드 C_x는 LCD이다. 이는 (F_q^*)^k 상에서 적어도 하나의 x에 대해 성립하므로, 그러한 코드의 존재를 증명한다.
• q가 제곱수이며 q > 4일 경우, 모든 F_q 선형 코드는 유사한 다항식 g(X)를 사용해 단순 등가를 통해 허미션 안 LCD 코드로 변환 가능하며, 이는 각 변수에 대해 차수 √q + 1이다.
• 이는 q ≥ 4일 때 매개변수 [n,k,n−k+1]_q를 가진 MDS 코드의 존재가 동일한 매개변수를 가진 LCD MDS 코드의 존재와 동치임을 암시한다.
• q ≥ 49이며 제곱수일 경우, 대수기하 코드가 지리터-바르샤모프 경계를 초월하는 LCD 코드로서 존재한다. 이는 그러한 코드의 존재와 등가성 결과에 기인한다.