[논문 리뷰] LDPC Codes from Latin Squares Free of Small Trapping Sets

Dung Viet Nguyen, Shashi Kiran Chilappagari외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 24.

Error Correcting Code Techniques참고 문헌 45인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 라틴 제곱에서 유도된 새로운 종류의 구조적 LDPC 코드를 제안하며, 유해한 작은 트랩셋을 제거하여 오류 평면을 낮추는 데 기여한다. 이 방법은 라틴 제곱에 대한 대수적 행렬 연산을 사용하여 부호 검사 행렬 내의 置換 행렬을 생성함으로써 반복 디코딩 하에서 성능을 떨어뜨리는 특정 트랩셋의 부재를 보장한다. 특히 이진 대칭 채널에서의 성능 향상을 위해 설계된다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the construction of low-density parity-check (LDPC) codes with low error floors. Two main contributions are made. First, a new class of structured LDPC codes is introduced. The parity check matrices of these codes are arrays of permutation matrices which are obtained from Latin squares and form a finite field under some matrix operations. Second, a method to construct LDPC codes with low error floors on the binary symmetric channel (BSC) is presented. Codes are constructed so that their Tanner graphs are free of certain small trapping sets. These trapping sets are selected from the Trapping Set Ontology for the Gallager A/B decoder. They are selected based on their relative harmfulness for a given decoding algorithm. We evaluate the relative harmfulness of different trapping sets for the sum product algorithm (SPA) by using the topological relations among them and by analyzing the decoding failures on one trapping set in the presence or absence of other trapping sets.

연구 동기 및 목표

• 반복 디코딩 하에서 이진 대칭 채널에서의 오류 평면 저하 문제를 지속적으로 해결하기 위해.
• 디코딩 실패를 일으키는 알려진 유해한 작은 트랩셋을 내재적으로 피하는 구조적 LDPC 부호 설계를 개발하기 위해.
• 특히 유한체 위의 라틴 제곱을 활용한 대수적 구조를 통해, 바람직한 조합적 및 대수적 성질을 지닌 부호 검사 행렬을 생성하기 위해.
• 트랩셋 간의 위상적 관계를 분석함으로써 오류 평면이 증명 가능하게 낮은 부호를 체계적으로 설계하기 위한 방법을 제공하기 위해.
• 기존의 순환 기반의 준주기 LDPC 부호를 넘어서, 체 연산으로 유도된 보다 일반적인 置換 행렬을 사용하여 기존의 대수적 구성 방법을 확장하기 위해.

제안 방법

• 유한체 GF(q) 위의 라틴 제곱에서 유도된 置換 행렬의 배열로 부호 검사 행렬을 구성하며, 각 요소는 체 연산을 통해 置換 행렬에 대응한다.
• 라틴 제곱에 대한 행렬 연산을 정의함으로써, 결과적으로 얻어진 置換 행렬이 갈로아 체 GF(q)를 형성하도록 하여 코드 구조의 대수적 조작을 가능하게 한다.
• 트랩셋 간의 위상적 관계와 스포트 알고리즘 하에서의 상대적 해로움을 분석함으로써, 트래이싱 그래프에서 특정 작은 트랩셋을 체계적으로 제거하는 방법을 적용한다.
• 갈라거 A/B 디코더를 위한 트랩셋 온톨로지를 활용하여 코드 설계 시 가장 해로운 트랩셋을 식별하고 제외한다.
• 이웃한 트랩셋이 존재하거나 부재할 경우의 디코딩 실패를 시뮬레이션하여 트랩셋의 상대적 해로움을 평가하고, 제거 대상으로 선정할 집합을 안내한다.
• 대수적 구조에 의해 행-열(RC) 제약 조건이 자명하게 만족되며, 4-사이클을 방지하고 부호 성능을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 트래이싱 그래프에서 작은 트랩셋을 제거함으로써 오류 평면을 최소화할 수 있는 구조적 LDPC 부호를 설계할 수 있는가?
• RQ2 스포트 알고리즘 하에서 다양한 트랩셋의 상대적 해로움은 무엇이며, 그들의 위상적 상호작용은 디코딩 실패에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 유한체 위의 라틴 제곱을 사용하여 오류 평면이 증명 가능하게 낮은 LDPC 부호를 생성할 수 있는 置換 행렬을 유도할 수 있는가?
• RQ4 라틴 제곱의 대수적 구조는 어떻게 기존의 어레이 LDPC 부호보다 높은 레이트를 갖는 LDPC 부호의 설계를 가능하게 하는가?
• RQ5 GF(2^ϑ)에서 유도된 LDPC 부호의 최소 거리는 얼마이며, 이는 부호 성능에 어떤 제약을 끼치는가?

주요 결과

• 제안된 LDPC 부호는 GF(q) 위의 라틴 제곱에서 유도되며, 행렬 연산 하에서 갈로아 체 GF(q)를 형성함으로써 일반적이고 대수적으로 구조화된 부호 설계가 가능하다.
• 이 방법은 트래이싱 그래프에서 특정 작은 트랩셋—예를 들어 (7,3){2}, (6,4){1}, (8,0){1}—을 성공적으로 제거하여 이진 대칭 채널에서의 오류 평면을 크게 감소시켰다.
• GF(2^ϑ)에서 구성된 부호의 경우 최소 거리는 8로 상한이 있으며, (8,0){1} 코드워드의 수는 정확히 (ρ 선택 2) × 2^(ϑ−2)로 하한이 보장된다. 여기서 ρ는 행의 무게이다.
• 열의 무게가 3인 8-사이클을 갖는 부호에서는 (8,0){2} 코드워드를 발견하지 못하였으며, 이는 무게 8의 코드워드 총 수가 (8,0){1} 코드워드의 하한과 정확히 일치함을 시사한다.
• 구성된 부호의 트래이싱 그래프는 여덟 개의 사이클을 포함하며, (8,0){1} 코드워드의 존재와 일치하는 바, 최대 갈래 길이(girth)가 8 이하임을 보여준다.
• 이 구성은 q가 소수일 경우 어레이 LDPC 부호를 일반화하며, 단순화된 어레이 LDPC 부호보다 높은 레이트를 유지하면서도 낮은 오류 평면 성능을 확보한다.