[논문 리뷰] Learning Closed-form Equations for Subgrid-scale Closures from High-fidelity Data: Promises and Challenges

Karan Jakhar, Yifei Guan외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 08.

Meteorological Phenomena and Simulations참고 문헌 140인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정밀 직접 수치 시뮬레이션에서 유도된 방정식 발견을 통해 난류의 해석 가능하고 닫힌 형태의 미세거시 스케일(SGS) 폐쇄를 탐색한다. 일반적인 알고리즘이 일관되게 비선형 기울기 모델(NGM)을 복원함을 보여주며, 이는 타일러 전개를 통한 해석적 유도가 가능한 바, NGM는 후방산란 및 확산과 같은 물리적 메커니즘을 누락하여 대류체 유동 시뮬레이션에서 불안정성을 유도함을 드러내며, 향후 발견 프레임워크에서 물리 기반 손실 함수와 측정 기준이 필요하다는 점을 시사한다.

ABSTRACT

There is growing interest in discovering interpretable, closed-form equations for subgrid-scale (SGS) closures/parameterizations of complex processes in Earth systems. Here, we apply a common equation-discovery technique with expansive libraries to learn closures from filtered direct numerical simulations of 2D turbulence and Rayleigh-Bénard convection (RBC). Across common filters (e.g., Gaussian, box), we robustly discover closures of the same form for momentum and heat fluxes. These closures depend on nonlinear combinations of gradients of filtered variables, with constants that are independent of the fluid/flow properties and only depend on filter type/size. We show that these closures are the nonlinear gradient model (NGM), which is derivable analytically using Taylor-series. Indeed, we suggest that with common (physics-free) equation-discovery algorithms, for many common systems/physics, discovered closures are consistent with the leading term of the Taylor-series (except when cutoff filters are used). Like previous studies, we find that large-eddy simulations with NGM closures are unstable, despite significant similarities between the true and NGM-predicted fluxes (correlations $> 0.95$). We identify two shortcomings as reasons for these instabilities: in 2D, NGM produces zero kinetic energy transfer between resolved and subgrid scales, lacking both diffusion and backscattering. In RBC, potential energy backscattering is poorly predicted. Moreover, we show that SGS fluxes diagnosed from data, presumed the ''truth'' for discovery, depend on filtering procedures and are not unique. Accordingly, to learn accurate, stable closures in future work, we propose several ideas around using physics-informed libraries, loss functions, and metrics. These findings are relevant to closure modeling of any multi-scale system.

연구 동기 및 목표

• 고정밀 데이터에서의 방정식 발견이 난류 유동에 대한 안정적이고 해석 가능한 미세거시 스케일(SGS) 폐쇄를 도출할 수 있는지 조사하는 것.
• 일반적으로 발견된 폐쇄가 진정한 플럭스와 높은 패턴 상관관계를 보임에도 불구하고 불안정한 대류체 유동 시뮬레이션을 유도하는 이유를 규명하는 것.
• 가장 흔하게 발견되는 폐쇄인 비선형 기울기 모델(NGM)이 스케일 간 에너지 이행을 포괄하지 못하는 물리적 결함을 분석하는 것.
• 향후 안정적이고 정확한 SGS 모델링을 위해 물리 기반 보완 조치를 포함한 방정식 발견 프레임워크를 제안하는 것, 예를 들어 맞춤형 손실 함수, 라이브러리, 측정 기준.
• 데이터에서 진단된 SGS 플럭스가 유일하지 않으며 필터링 절차에 따라 달라지며, 이는 폐쇄 발견에 대한 유일한 '진실'이라는 가정을 도전한다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 2D 강제 동일방향 비압축성 난류(FHIT) 및 레이일레이-베나르 대류(RBC) 시뮬레이션의 필터링된 데이터에 표준 방정식 발견 알고리즘과 광범위한 기호 라이브러리를 적용한다.
• 운동량 및 열 플럭스에 대한 닫힌 형태의 표현식을 발견하기 위해 필터링된 속도 및 온도 장을 입력 특성로 사용한다.
• 발견된 폐쇄를 SGS 스트레스 텐서의 타일러 급수 전개를 통한 해석적으로 도출된 비선형 기울기 모델(NGM)과 비교한다.
• NGM 폐쇄를 사용한 대류체 유동 시뮬레이션의 안정성을 평가하며, 스케일 간 에너지 이행률(운동 에너지 및 위치 에너지) 및 셀프로피 플럭스를 분석한다.
• 진정한 SGS 플럭스와 NGM 예측 간의 불일치를 패턴 상관관계(>0.95)로 측정하면서, 에너지 이행 및 후방산란 측정 기준을 통해 물리적 일관성을 평가한다.
• 발견 과정에 물리 기반 제약 조건을 통합하는 것을 제안하며, 예를 들어 후방산란 누락 또는 잘못된 에너지 이행을 방지하는 손실 함수와 모델 정밀도를 향상시키기 위한 스파arsity 인식 측정 기준을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방정식 발견 방법이 불안정한 시뮬레이션을 유도함에도 불구하고 왜 일관되게 비선형 기울기 모델(NGM)을 폐쇄로 복원하는가?
• RQ2 발견된 폐쇄가 2D 난류 및 레이일레이-베나르 대류에서 후방산란 및 확산과 같은 핵심 물리적 과정을 어느 정도 정확하게 표현하는가?
• RQ3 필터링 절차가 진단된 SGS 플럭스에 어떤 영향을 미치며, 이는 폐쇄 발견에 대한 유일한 '진실'이라는 가정을 위협하는가?
• RQ4 방정식 발견에서 표준 패턴 매칭 손실 함수가 안정적이고 물리적으로 일관된 SGS 모델을 신뢰성 있게 도출할 수 있는가?
• RQ5 손실 함수, 라이브러리, 측정 기준 등의 물리 기반 수정 조치를 통해 발견 프레임워크를 어떻게 개선하여 학습된 폐쇄의 안정성과 정확도를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 방정식 발견 알고리즘은 유체 성질과 관계없이 2D 강제 난류 및 레이일레이-베나르 대류에서 운동량 및 열 플럭스에 대한 닫힌 형태의 SGS 폐쇄로 비선형 기울기 모델(NGM)을 강력하게 복원한다.
• NGM 폐쇄는 SGS 스트레스 텐서의 타일러 급수 전개를 통해 해석적으로 도출 가능하며, 기존 알려진 해석적 폐쇄와의 수학적 일관성을 확인한다.
• 진정한 플럭스와 NGM 예측 플럭스 간의 높은 패턴 상관관계(>0.95)에도 불구하고, 2D에서 해상 및 미세거시 스케일 간 순 운동 에너지 이행이 0인 점으로 인해 NGM 폐쇄를 사용한 대류체 유동 시뮬레이션은 불안정하다.
• 레이일레이-베나르 대류에서는 NGM가 위치 에너지의 후방산란을 제대로 포괄하지 못해 물리적으로 비합리적인 에너지 이행 역학을 유도한다.
• 고정밀 데이터에서 진단된 SGS 플럭스는 고유하지 않으며 필터링 절차에 따라 달라지며, 이는 폐쇄 발견에 대한 유일한 보편적 '진실'이라는 가정을 도전한다.
• 본 연구는 표준 패턴 매칭 손실 함수가 안정적 폐쇄 발견에 부족하다는 점을 밝히며, 향후 작업에서 에너지 이행 인식 손실 함수와 스파arsity 인식 측정 기준과 같은 물리 기반 대체 솔루션을 제안한다.