[논문 리뷰] Learning Data-Driven Stable Koopman Operators

Giorgos Mamakoukas, Ian Abraham외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 08.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 58인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템의 데이터 기반 모델링에서 장기 예측 정확도를 향상시키기 위해 고유값을 제약함으로써 안정적인 쿠퍼만 연산자를 학습하는 방법을 제안한다. 최소 제곱 최적화에 안정성 제약을 도입함으로써 모든 고유값이 ≤1이 되도록 보장함으로써, 진자, 허퍼, 큼드로터 시스템에서 예측 및 제어 성능이 크게 향상된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of improving the long-term accuracy of data-driven approximations of Koopman operators, which are infinite-dimensional linear representations of general nonlinear systems, by bounding the eigenvalues of the linear operator. We derive a formula for the global error of general Koopman representations and motivate imposing stability constraints on the data-driven model to improve the approximation of nonlinear systems over a longer horizon. In addition, constraints on admissible basis functions for a stable Koopman operator are presented, as well as conditions for constructing a Lyapunov function for nonlinear systems. The modified linear representation is the nearest extit{stable} (all eigenvalues are equal or less than 1) matrix solution to a least-squares minimization and bounds the prediction of the system response. We demonstrate the benefit of stable Koopman operators in prediction and control performance using the systems of a pendulum, a hopper, and a quadrotor.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 데이터 기반 쿠퍼만 연산자에서 불안정한 고유값으로 인해 발생하는 장기 예측 정확도 저하 문제를 해결하기 위해.
• 데이터 적합성 손실 없이 쿠퍼만 연산자 근사에서 안정성(모든 고유값 ≤1)을 강제하는 방법을 개발하기 위해.
• 안정적인 쿠퍼만 연산자를 위한 조건을 유도하고, 기저 함수를 사용하여 비선형 시스템의 리아푸노프 함수를 구성하기 위해.
• 안정성 제약을 통해 전역 오차를 제한하여 시스템 응답 예측 및 제어 성능을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 장기 근사 오차를 정량화하기 위해 쿠퍼만 표현의 전역 오차 공식을 유도하기 위해.
• 쿠퍼만 연산자의 모든 고유값이 ≤1이 되도록 보장하는 안정성 제약을 도입하기 위해.
• 데이터 기반 쿠퍼만 연산자에 가장 가까운 안정적인 행렬을 찾기 위해 안정성 제약이 포함된 최소 제곱 최적화 문제를 설정하기 위해.
• 안정적인 쿠퍼만 연산자를 지원하고 리아푸노프 함수 구성이 가능한 허용 가능한 기저 함수를 식별하기 위해.
• 유도된 안정적인 연산자를 사용하여 시스템 응답 예측을 제한하고 제어 성능을 향상시키기 위해.
• 기준 비선형 시스템인 진자, 허퍼, 큼드로터에 대해 실증적 검증을 위해 이 방법을 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고유값 제약이 데이터 기반 쿠퍼만 연산자 근사의 장기 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 어떤 기저 함수 조건이 안정적인 쿠퍼만 연산자 및 관련 리아푸노프 함수의 구성 가능성을 보장하는가?
• RQ3 안정성 강제 조건이 비선형 시스템의 예측 오차 및 제어 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 쿠퍼만 표현의 전역 오차와 연산자의 스펙트럼 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 최소 제곱 해에 가장 가까운 안정적인 행렬로 안정적인 쿠퍼만 연산자를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 안정적인 쿠퍼만 연산자는 일반적인 데이터 기반 쿠퍼만 모델에 비해 장기 예측 오차를 크게 감소시킨다.
• 안정성 제약이 시스템 응답 예측을 제한하여 궤적의 무한한 증가를 방지한다.
• 적절한 기저 함수를 사용함으로써 비선형 시스템의 리아푸노프 함수 구성이 가능해진다.
• 실증 결과에 따르면 진자, 허퍼, 큼드로터 시스템에서 제어 성능이 향상됨을 확인할 수 있다.
• 안정적인 쿠퍼만 연산자는 최소 제곱 해에 가장 가까운 안정적인 행렬로 유도되어 데이터 피팅과 안정성 사이의 최적의 트레이드오프를 보장한다.
• 유도된 오차 공식을 사용하여 쿠퍼만 표현의 전역 오차를 해석적으로 제한함으로써 스펙트럼 성질과 예측 정확도 사이의 관계를 연결한다.