[논문 리뷰] Learning quantum many-body systems from a few copies

Cambyse Rouzé, Daniel Stilck França|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 07.

Quantum many-body systems참고 문헌 61인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 시스템 크기의 다중로그형으로 스케일링되고 관측 가능성이 국소성에 대해 다항형으로 스케일링되는 복수의 복사본에서 준국소 관측량의 기대값을 학습하는 새로운 양자 상태 추정 프로토콜을 제안한다. 최대 엔트로피 추론, 양자 최적 운반, 고전적 그림자들을 조합함으로써 표준 토모그래피에 비해 표본 복잡도를 지수적으로 향상시켜, 상관관계 감쇠 조건 하에서 물리적으로 관련된 관측량을 효율적으로 추정할 수 있다.

ABSTRACT

Estimating physical properties of quantum states from measurements is one of the most fundamental tasks in quantum science. In this work, we identify conditions on states under which it is possible to infer the expectation values of all quasi-local observables of a state from a number of copies that scales polylogarithmically with the system's size and polynomially on the locality of the target observables. We show that this constitutes a provable exponential improvement in the number of copies over state-of-the-art tomography protocols. We achieve our results by combining the maximum entropy method with tools from the emerging fields of classical shadows and quantum optimal transport. The latter allows us to fine-tune the error made in estimating the expectation value of an observable in terms of how local it is and how well we approximate the expectation value of a fixed set of few-body observables. We conjecture that our condition holds for all states exhibiting some form of decay of correlations and establish it for several subsets thereof. These include widely studied classes of states such as one-dimensional thermal and high-temperature Gibbs states of local commuting Hamiltonians on arbitrary hypergraphs or outputs of shallow circuits. Moreover, we show improvements of the maximum entropy method beyond the sample complexity that are of independent interest. These include identifying regimes in which it is possible to perform the postprocessing efficiently as well as novel bounds on the condition number of covariance matrices of many-body states.

연구 동기 및 목표

• 표준 토모그래피에 비해 훨씬 적은 복사본 수로 다체계의 물리적 성질을 학습할 수 있는 양자 상태 추정 프로토콜을 개발하는 것.
• 준국소 관측량의 기대값을 소수의 복사본으로 효율적으로 추정할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 추론 오차 측정 지표로 트레이스 거리 대신 물리적 구분 가능성에 더 잘 부합하는 워샤프스키 거리(Wasserstein distance)를 도입하는 것.
• 고전적 그림자와 최대 엔트로피 원리를 융합하여 관측 가능성이 국소성에 따라 지수적 스케일링을 피하는 것.
• 시스템 크기의 로그형, 국소성에 대해 다항형으로 스케일링되는 표본 복잡도 상한을 확립하여 기존 프로토콜을 향상시키는 것.

제안 방법

• 측정된 소수의 양자 양상에 일치하는 상태를 유도하기 위해 최대 엔트로피 원리를 사용하며, 진짜 상태에 대한 상대 엔트로피를 최소화한다.
• 소수의 복사본으로부터 국소적 감소 밀도 행렬을 효율적으로 추정하기 위해 고전적 그림자 기법을 통합한다.
• 양자 최적 운반을 사용하여 준국소 관측량의 기대값 추정 오차를 국소성과 근사 품질의 함수로 제한한다.
• 워샤프스키 거리를 주요 구분 가능성 측정 지표로 채택하여, 트레이스 거리보다 광범위한 국소 관측량에 더 적합하다.
• 상관관계 감쇠 조건 하에서 프레임워크를 분석하며, 1차원 열적 상태와 얕은 회로 출력을 포함한다.
• 다체계의 공분산 행렬의 조건수에 대한 신규 상한을 유도하여 특정 영역에서 효율적인 후처리를 가능하게 한다.

Figure 1: example of observable $O=\sum_{i}O_{i}$ for $2D$ lattice system of size $n$ . Each $O_{i}$ is supported on a $L\times L$ square ( $L=3$ in the figure). We have $\|O\|_{\operatorname{Lip}}=\mathcal{O}(\sqrt{n})$ and $\|O\|=n/L^{2}$ . Thus our methods require $\textrm{poly}(L,\log(n),\epsilo

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 크기의 다중로그형 스케일링으로 복사본 수를 확보할 수 있는가?
• RQ2 목표 관측량의 국소성에 대해 다항형 표본 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 향상을 가능하게 하기 위해 트레이스 거리 대신 워샤프스키 거리와 같은 더 물리적으로 관련된 지표로 대체할 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 이 방법이 증명 가능한 표본 복잡도 우수성을 제공하는가?
• RQ5 최대 엔트로피 방법을 고전적 그림자와 최적 운반으로 강화하여 국소성에 따른 지수적 스케일링을 피할 수 있는가?

주요 결과

• 이 프로토콜은 워샤프스키 거리 기준 ε 이내로 기대값을 추정하기 위해 O(ε⁻² log n) 복사본을 요구하며, 이는 표준 토모그래피에 비해 지수적 향상이다.
• 상관관계 감쇠를 보이는 상태—예를 들어 1차원 열적 상태 및 국소 해밀토니안의 고온 금속 상태—에서는 이 방법이 증명 가능한 효율성 추정을 제공한다.
• 이 방법은 얕은 양자 회로 출력 및 기타 상관관계 감쇠를 보이는 상태 클래스에도 적용 가능하며, 광범위한 적용 가능성을 확인한다.
• 트레이스 거리 대신 워샤프스키 거리를 사용하는 것이 필수적이다. 트레이스 거리는 조건부 상태일지라도 최소 Ω(nε⁻²) 복사본이 필요하여 다중로그형 목표를 위반하기 때문이다.
• 공분산 행렬의 조건수에 대한 새로운 상한 덕분에 특정 영역에서 효율적인 후처리가 가능해진다.
• 국소성의 지수적 스케일링을 피하기 위해 국소성의 구조와 최적 운반을 활용함으로써 고전적 그림자에서 기인하는 국소성에 따른 지수적 스케일링을 우회할 수 있다.

Figure 2: Performance on a Gibbs state from the family of Eq. ( 14 ) and the 8-local observable in Eq. ( 15 ). We have set the number of qubits to $100$ , $\beta=1.1$ and the $\lambda_{i}$ unformly at random between $0.5$ and $0.9$ . The $x$ -axis denotes the logarithm of the number of samples in ba