[논문 리뷰] Learning quantum processes without input control

Marco Fanizza, Yihui Quek외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 입력 분포를 제어할 수 없는 상황에서 고전적 입력을 양자 출력으로 매핑하는 양자 과정에 대한 통계적 학습 이론을 제안한다. 색인 톰그래피와 균일 수렴 보장을 갖는 가설 선택을 적응적으로 적용함으로써, 유한한 표본 크기로도 무한한 개념 클래스에 대해서도 학습 알고리즘을 제공하며, 입력이 제어 불가능하고 각 입력에 대해 단일 복사본만 이용 가능한 천체물리학적 또는 생물학적 시스템과 같은 환경에서 양자 과정의 효율적 학습 조건을 설정한다.

ABSTRACT

We introduce a general statistical learning theory for processes that take as input a classical random variable and output a quantum state. Our setting is motivated by the practical situation in which one desires to learn a quantum process governed by classical parameters that are out of one's control. This framework is applicable, for example, to the study of astronomical phenomena, disordered systems and biological processes not controlled by the observer. We provide an algorithm for learning with high probability in this setting with a finite amount of samples, even if the concept class is infinite. To do this, we review and adapt existing algorithms for shadow tomography and hypothesis selection, and combine their guarantees with the uniform convergence on the data of the loss functions of interest. As a by-product we obtain sufficient conditions for performing shadow tomography of classical-quantum states with a number of copies which depends on the dimension of the quantum register, but not on the dimension of the classical one. We give concrete examples of processes that can be learned in this manner, based on quantum circuits or physically motivated classes, such as systems governed by Hamiltonians with random perturbations or data-dependent phase-shifts.

연구 동기 및 목표

• 입력이 제어 불가능하고 알려지지 않은 분포에서 샘플링되는 상황에서 고전적 입력을 양자 출력으로 매핑하는 양자 과정에 대한 통계적 학습 프레임워크를 개발하는 것.
• 이전 연구가 제어된 입력에서 준비된 동일한 양자 상태 복사본이 필요로 하는 한계를 극복하여, 각 입력에 대해 유일한 복사본만 이용 가능한 상황에서도 학습이 가능하도록 하는 것.
• 진정한 과정이 가설 클래스에 포함되지 않을 수 있는 아그노스틱 설정에서도 무한한 개념 클래스의 양자 과정에 대해 유한 표본 학습 보장을 수립하는 것.
• 고전적 레지스터 차원에 따라 변하지 않는 복사본 비용을 갖는 고전-양자 상태의 색인 톰그래피를 위한 충분조건을 제공하는 것.
• 양자 회로, 랜덤 해밀토니안 편항, 데이터에 의존하는 위상 이동을 포함한 예시들을 통해 실용적 적용 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 제어되지 않는 고전적 입력 설정에서 가설 선택과 색인 톰그래피 프레임워크를 적응적으로 적용하여, 양자 출력에 대한 데이터에 의존하는 손실 함수를 사용하는 것.
• 입력 샘플 전역에서 출력 상태의 L1 노름을 기반으로 개념 클래스에 대한 의사거리 측도를 정의함으로써, 균일 수렴 분석이 가능하도록 하는 것.
• 양자 시스템 차원에만 의존하고 고전적 입력 차원에는 의존하지 않는 개념 클래스에 대한 커버링 수를 정의함으로써, 유한 표본 학습이 가능하도록 하는 것.
• 데이터 상에서 손실 함수의 균일 수렴을 사용하여 일반화 오차를 바ounds함으로써, 고확률적으로 유한 표본으로 학습이 가능하도록 보장하는 것.
• 작은 매개변수 변화에 따른 양자 과정 간의 거리 제어를 위해 연산자 노름 근사와 편미분 경계(예: Dynkin 공식을 사용)를 적용하는 것.
• 특정 클래스에 대해 명시적인 커버링 수 경계를 유도함: 예를 들어, 유니타리 진화 상태와 편미분된 해밀토니안의 저에너지 부분공간에 대한 프로젝터에 대해, 연산자 노름 부등식과 스펙트럼 편미분 이론을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력이 학습자에 의해 제어되지 않으며 각 출력 상태에 대해 단일 복사본만 이용 가능한 상황에서 양자 과정을 학습할 수 있는가?
• RQ2 진정한 과정이 가설 클래스에 포함되지 않을 수 있는 아그노스틱 설정에서 무한한 양자 과정 개념 클래스에 대해 유한 표본 학습 보장을 확보할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 고전적 레지스터의 차원이 무한한 경우에도 고전-양자 상태에 대해 색인 톰그래피를 적용할 수 있으며, 만약 가능하면 그 조건은 무엇인가?
• RQ4 입력 제어 없이 양자 과정 클래스에 대한 커버링 수를 어떻게 바ounds할 수 있으며, 그에 따라 표본 복잡도는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ5 랜덤 또는 데이터에 의존하는 해밀토니안 하에서의 유니타리 진화를 포함하는 과정을 학습할 경우의 표본 복잡도 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 데이터 상에서 손실 함수의 균일 수렴을 위한 충분조건를 확립하여, 입력 제어 없이도 무한한 개념 클래스에 대해 고확률적으로 양자 과정을 학습할 수 있음을 보장한다.
• 유한 표본 학습 알고리즘을 구성하였으며, 이는 고확률적으로 성공하며 표본 복잡도가 고전적 입력 차원에 의존하지 않고 양자 시스템 차원에만 의존한다.
• 유계 해밀토니안 하에서 유니타리 진화로 정의된 과정 클래스의 경우, 커버링 수는 시스템 차원 d, 해밀토니안 노름의 상한 B, 입력 함수의 변동성 b에 대한 함수로 바ounds된다.
• 편미분된 해밀토니안의 저에너지 부분공간에 대한 프로젝터 클래스에 대해, 차수(order)가 (d²)인 커버링 수 경계를 제공하며, 이는 편미분 강도와 스펙트럼 갭에 명시적인 의존성을 갖는다.
• 고전-양자 상태에 대한 색인 톰그래피 절차를 개선하였으며, 필요한 복사본 수는 양자 차원에 비례하지만 고전적 레지스터 크기와는 무관하다.
• 세 가지 클래스에 대해 명시적인 커버링 수 경계를 도출함: (1) 유니타리 진화 상태, (2) 고정된 해밀토니안의 저에너지 부분공간에 대한 프로젝터, (3) 편미분된 해밀토니안의 저에너지 부분공간에 대한 프로젝터이며, 제안된 프레임워크 하에서 모두 유한한 표본 복잡도를 갖는다.