[논문 리뷰] Les Variétés de Hecke-Hilbert aux points classiques de poids $1$

Adel Betina|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가환체의 변형 이론과 p진 코homology를 이용하여 고전적 무게 1 힐버트 모듈라 형식에서의 힐버트 고유값다양체의 국소 기하학을 연구한다. Leopoldt 조건과 정규성 조건 하에서 이러한 점에서 고유값다양체가 미분가능하다는 것을 증명하고, 섬유의 탄성공간 차원을 계산하며, 대수적 수의 p진 로그를 통해 표현되는 비고전적 초수렴 고유형식을 구성한다.

ABSTRACT

We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field $F$ is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficients in terms of $p$-adic logarithms of algebraic numbers. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations.

연구 동기 및 목표

• 고전적 무게 1 힐버트 모듈라 형식에서의 힐버트 고유값다양체의 국소 구조를 기술하는 것.
• 해당 점에서 고유값다양체의 미분가능성과 탄성공간 차원을 결정하는 것.
• 비고전적 초수렴 고유형식을 구성하고, 그 푸리에 계수를 p진 로그와 연결하는 것.
• 무게 사상이 고전적 무게 1 점에서 유도적(étale)이 되는 조건을 설정하는 것.
• 타원형의 결과를 변형 이론과 계수체 이론을 이용하여 완전 실수체로 일반화하는 것.

제안 방법

• 마자르의 가환체 변형 이론과 의사변형을 이용하여 고유값다양체의 국소 기하학을 연구한다.
• 계수체 이론의 코homological 도구를 적용하여 고유값다양체와 그 섬유의 구조를 분석한다.
• p-정규화된 무게 1 형식을 고유값다양체의 준일반적 위치의 점으로 도입한다.
• 소수 p 위의 소수에서의 분해 및 분할 데이터를 이용하여 무게 사상의 섬유의 탄성공간을 계산한다.
• 고유값다양체의 국소환에서 제한된 멱급수환으로의 전상사상을 통해 초수렴 고유형식을 구성한다.
• Leopoldt의 추측 하에, 대수적 정수의 p진 로그를 통해 비고전적 형식의 푸리에 계수를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 고전적 무게 1 힐버트 모듈라 형식에서의 힐버트 고유값다양체가 미분가능한가?
• RQ2 그 점에서 무게 사상의 섬유에 대한 탄성공간 차원은 얼마인가?
• RQ3 무게 사상은 언제 고전적 무게 1 점에서 유도적(étale)인가?
• RQ4 무게 1 점에서 비고전적 초수렴 고유형식을 구성할 수 있으며, 그 푸리에 계수는 어떻게 특징지어지는가?
• RQ5 대수적 수의 p진 로그는 초수렴 힐버트 모듈라 형식의 무게 1에서의 푸리에 계수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 해당 이차 확장에 대한 Leopoldt 추측과 p-정규성 조건을 가정할 경우, 고전적 무게 1 힐버트 모듈라 형식에서의 힐버트 고유값다양체는 미분가능하다.
• 그 점에서 무게 사상의 섬유에 대한 탄성공간 차원은 ∑_{p_i ∈ S_p} e_i f_i 와 같다. 여기서 e_i와 f_i는 소수 p 위의 소수에서의 분할 및 군의 차수이다.
• 준일반적 위치의 탄성공간 차원은 max{1, ∑_{p_i ∈ S_p} e_i f_i} 와 같으며, 이는 일반적 기하학적 구조의 존재를 반영한다.
• S_p가 비어 있지 않은 경우, 고유값다양체의 국소환에서 Q_p 위의 제한된 멱급수환으로의 전상사상이 존재하며, 이로부터 2차원의 초수렴 고유형식이 유도된다.
• 이들 중 하나는 비고전적 고유형식이며, 그 푸리에 계수는 대수적 수의 p진 로그로 표현된다.
• 이 구성은 θ급수와 관련된 이차 확장 M에 대한 Leopoldt 추측의 성립에 의존한다.