[논문 리뷰] Level sets and non Gaussian integrals of positively homogeneous functions

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 30.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 동차 함수의 하위레벨 세트 부피에 대한 볼록성 성질을 확립하고, 작용 독립성에 의해 비정규 분포 적분과 레벨 세트 부피 사이에 놀라운 연결 고리를 도출한다. 동차 함수 $ h $ 를 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq y\} $ 위에서 적분하는 것은 $ \mathbb{R}^n $ 위에서 $ h\exp(-g) $ 를 적분한 것과 비례하며, 비례 상수는 동차도와 함수 $ \phi $ 에만 의존한다. 핵심 결과는 다항식 계수에 대한 부피의 볼록성으로, 최소 부피 포함 문제에 대한 새로운 볼록 최적화 기법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We investigate various properties of the sublevel set $\{x \,:\,g(x)\leq 1\}$ and the integration of $h$ on this sublevel set when $g$ and $h$are positively homogeneous functions. For instance, the latter integral reduces to integrating $h\exp(-g)$ on the whole space $R^n$ (a non Gaussian integral) and when $g$ is a polynomial, then the volume of the sublevel set is a convex function of the coefficients of $g$. In fact, whenever $h$ is nonnegative, the functional $\int ϕ(g(x))h(x)dx$ is a convex function of $g$ for a large class of functions $ϕ:R_+ o R$. We also provide a numerical approximation scheme to compute the volume or integrate $h$ (or, equivalently to approximate the associated non Gaussian integral). We also show that finding the sublevel set $\{x \,:\,g(x)\leq 1\}$ of minimum volume that contains some given subset $K$ is a (hard) convex optimization problem for which we also propose two convergent numerical schemes. Finally, we provide a Gaussian-like property of non Gaussian integrals for homogeneous polynomials that are sums of squares and critical points of a specific function.

연구 동기 및 목표

• 하향 함수 $ g $ 와 $ h $ 가 양의 동차 함수일 때, 하위레벨 세트 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 와 이 세트 위에서 $ h $ 를 적분하는 성질을 조사한다.
• 하위레벨 세트 위에서 $ h $ 를 적분하는 것과 비정규 분포 적분 $ \int_{\mathbb{R}^n} h\exp(-g)\,d\mathbf{x} $ 사이의 기능적 관계를 수립하고, 광범위한 함수 클래스 $ \phi $ 에 대해 작용 독립성을 보여준다.
• 다항식 $ g $ 가 음이 아닌 동차 다항식일 때, 하위레벨 세트 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 의 부피가 $ g $ 의 계수에 대한 볼록 함수임을 증명한다.
• 하위레벨 세트 위에서 부피를 계산하거나 $ h $ 를 적분하기 위한 수치적 근사 기법을 개발하고, 최소 부피 하위레벨 세트 포함 문제를 볼록 최적화를 통해 해결한다.
• 제곱합으로 표현되는 동차 다항식의 비정규 분포 적분이 가우시안 유사 행동을 보임을 보이고, 특정 기능의 임계점을 규명한다.

제안 방법

• 일반적인 작용 독립성 항등식 유도: $ \int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(\mathbf{x}))h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} = C(\phi,d,p) \cdot \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $, 여기서 $ C(\phi,d,p) $ 는 $ \phi $, 차수 $ d $, $ h $ 의 동차도 $ p $ 에만 의존한다.
• 오일러의 항등식과 스케일링 추론을 사용하여 적분 $ \int_{\{g(\mathbf{x}) \leq y\}} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ 가 $ y^{(n+p)/d} $ 의 비율로 스케일링됨을 증명하고, 감마 함수를 포함한 명시적 공식을 이끌어낸다.
• 바투의 보조정리와 Borel 측도 공간에서의 약한-* 컴팩트니스를 적용하여 다항식 수열의 수렴성을 증명하고 볼록 최적화 문제의 최적성을 확립한다.
• 반정형 프로그래밍과 모멘트 리듬화 기법을 기반으로 하위레벨 세트 포함 문제의 최소 부피를 해결하기 위한 두 가지 수렴하는 수치적 기법을 제안한다.
• $ C_d(\mathbf{K}) $, 즉 컴acts 집합 $ \mathbf{K} $ 위에서 음이 아닌 동차 다항식의 집합의 쌍대 코너를, $ \mathbf{K} $ 위의 유한 Borel 측도의 모멘트 수열의 집합으로 특성화한다.
• 쌍대 코너의 구조를 이용하여 부피 최소화 문제의 최적 해가 타당한 다항식 수열의 극한에서 도달됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 동차 함수 $ h $ 를 하위레벨 세트 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq y\} $ 위에서 적분하는 것은 비정규 분포 적분 $ \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ 를 통해 표현될 수 있는가?
• RQ2 다항식 $ g $ 가 음이 아닌 동차 다항식일 때, 하위레벨 세트 $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 의 부피는 $ g $ 의 계수에 대한 볼록 함수인가?
• RQ3 주어진 컴팩트 집합 $ \mathbf{K} $ 를 포함하는 최소 부피 하위레벨 세트를 찾는 문제는 볼록 최적화 문제로 공식화될 수 있는가?
• RQ4 제곱합으로 표현되는 동차 다항식의 비정규 분포 적분은 가우시안 유사 행동을 보이는가?
• RQ5 컴팩트 집합 $ \mathbf{K} $ 위에서 차수 $ d $ 의 음이 아닌 동차 다항식의 집합의 쌍대 코너는 무엇이며, 이는 측도의 모멘트 수열과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 적분 $ \int_{\{g(\mathbf{x}) \leq y\}} h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ 는 $ \int_{\mathbb{R}^n} h(\mathbf{x})\exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ 와 비례하며, 비례 상수는 $ g $ 와 $ h $ 의 동차도와 함수 $ \phi $ 에만 의존한다.
• 차수 $ d $ 의 음이 아닌 동차 다항식 $ g $ 에 대해, $ \{\mathbf{x} : g(\mathbf{x}) \leq 1\} $ 의 부피는 $ g $ 의 계수에 대한 볼록 함수이다.
• 함수 $ \phi: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} $ 가 넓은 범위일 때, $ h $ 가 음이 아니고 $ g $ 가 음이 아닌 동차 다항식일 경우, 기능 $ \int \phi(g(\mathbf{x}))h(\mathbf{x})\,d\mathbf{x} $ 는 $ g $ 에 대해 볼록이다.
• 주어진 컴팩트 집합 $ \mathbf{K} $ 를 포함하는 최소 부피 하위레벨 세트를 찾는 문제는 볼록 최적화 문제이며, 이를 해결하기 위한 두 가지 수렴하는 수치적 기법이 제안된다.
• $ C_d(\mathbf{K}) $, 즉 컴팩트 집합 $ \mathbf{K} $ 위에서 음이 아닌 동차 다항식의 집합의 쌍대 코너는 $ \mathbf{K} $ 위의 유한 Borel 측도의 모멘트 수열의 집합이다.
• 제곱합으로 표현되는 동차 다항식에 대해, 비정규 분포 적분 $ \int_{\mathbb{R}^n} \exp(-g(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x} $ 는 가우시안 유사 행동을 보이며, 특정 기능의 임계점이 규명된다.